泰勒公式与泰勒的克妻属性

泰勒公式

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

在人工智能的数学工具箱中，我们常常需要用一个简单的函数来近似一个复杂的函数，尤其是在局部区域内。本节将学习的泰勒公式，正是实现这一目标的强大工具。它将函数在某一点的信息（函数值及各阶导数值）转化为一个多项式，从而在局部用这个多项式来逼近原函数。学完本节，你将能够理解泰勒公式的构造原理，掌握常见函数的麦克劳林展开，并理解其在近似计算和理论分析中的核心作用。

💡 核心导读

本节我们将沿着以下路径深入泰勒公式：

1. 定义与形式：理解泰勒公式的核心思想——用多项式逼近函数，并掌握其标准形式（带佩亚诺余项）。
2. 唯一性定理：掌握泰勒展开的唯一性，这是利用已知展开式推导新展开式的理论基础。
3. 常见函数的麦克劳林展开：推导并记忆几个最关键的展开式，如 $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\ln(1+x)$ 等。
4. 函数奇偶性与展开式的关系：观察并总结奇函数和偶函数的麦克劳林展开式所具有的独特对称性。
5. 间接求展开式的方法：学习通过求导、积分或变量替换等技巧，从已知展开式推导新函数（如 $\arctan x$, $\arcsin x$）展开式的方法。

泰勒公式的定义与证明

泰勒公式的核心思想是：如果一个函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处足够光滑（即具有足够高阶的导数），那么我们就可以在 $x_0$ 附近用一个多项式来近似它，并且这个多项式完全由 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的函数值和各阶导数值决定。

定理（带佩亚诺余项的泰勒公式）：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数（$n \ge 1$），则存在 $x_0$ 的一个邻域，对于该邻域内的任意 $x$，有 $$f(x) = P_n(x) + R_n(x)$$ 其中 $P_n(x)$ 称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 次泰勒多项式，其表达式为： $$P_n(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x - x_0) + \frac{f”(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$$ 而 $R_n(x)$ 称为 佩亚诺 (Peano) 型余项，它满足： $$R_n(x) = o((x - x_0)^n) \quad (x \to x_0)$$ 即余项是比 $(x - x_0)^n$ 更高阶的无穷小量。

当 $x_0 = 0$ 时，上述公式称为 麦克劳林 (Maclaurin) 公式： $$f(x) = f(0) + f’(0)x + \frac{f”(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n) \quad (x \to 0)$$

证明思路：要证明 $f(x) - P_n(x) = o((x-x_0)^n)$，等价于证明极限 $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - P_n(x)}{(x - x_0)^n} = 0$$ 这是一个 $\frac{0}{0}$ 型未定式。由于 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数，我们可以连续使用 $n-1$ 次洛必达法则。经过计算，极限最终化为 $$\frac{1}{n!} \lim_{x \to x_0} \left[ f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_0) - f^{(n)}(x_0)(x - x_0) \right] / (x - x_0)$$ 根据 $n$ 阶导数的定义，上式极限为 $0$，从而完成了证明。

泰勒展开的唯一性与间接求法

泰勒公式有一个非常重要的性质——唯一性，它为我们提供了一种间接求泰勒展开式的强大方法。

定理（泰勒展开的唯一性）：如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数，并且可以表示为以下形式： $$f(x) = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0)^2 + \cdots + a_n (x - x_0)^n + o((x - x_0)^n) \quad (x \to x_0)$$ 那么，这些系数 $a_k$ 必定是泰勒公式所确定的系数，即 $$a_k = \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n$$

这意味着，只要你能通过任何方法（代数变形、已知展开式组合等）将 $f(x)$ 写成关于 $(x-x_0)$ 的多项式加上一个 $o((x-x_0)^n)$ 项的形式，那么这个多项式就一定是它的泰勒多项式。这避免了每次都去计算复杂的高阶导数。

常见函数的麦克劳林展开

掌握几个基本初等函数的麦克劳林展开式至关重要。以下是几个最常用的展开式（均带佩亚诺余项）。

1. 指数函数 $e^x$ 由于 $(e^x)^{(k)} = e^x$，且 $e^0 = 1$，所以 $f^{(k)}(0) = 1$。代入麦克劳林公式： $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \quad (x \to 0)$$

2. 正弦函数 $\sin x$ 正弦函数的 $n$ 阶导数为 $\sin^{(n)} x = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$。在 $x=0$ 处，其值为 $\sin(\frac{n\pi}{2})$。当 $n$ 为偶数时，此项为 $0$；当 $n$ 为奇数 $2k+1$ 时，其值为 $(-1)^k$。因此展开式中只含有奇次幂项： $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} + o(x^{2k+2}) \quad (x \to 0)$$ 注意：余项的阶数可以比最后一项的阶数高一阶。

3. 余弦函数 $\cos x$ 类似地，$\cos^{(n)} x = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$。在 $x=0$ 处，当 $n$ 为奇数时，此项为 $0$；当 $n$ 为偶数 $2k$ 时，其值为 $(-1)^k$。因此展开式中只含有偶次幂项： $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} + o(x^{2k+1}) \quad (x \to 0)$$

4. 自然对数 $\ln(1+x)$ 其 $k$ 阶导数为 $f^{(k)}(x) = (-1)^{k-1} \frac{(k-1)!}{(1+x)^k}$。在 $x=0$ 处，$f^{(k)}(0) = (-1)^{k-1}(k-1)!$。代入公式： $$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n) \quad (x \to 0)$$

5. 幂函数 $(1+x)^\alpha$ ($\alpha \in \mathbb{R}$) 其 $k$ 阶导数为 $f^{(k)}(x) = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)(1+x)^{\alpha-k}$。在 $x=0$ 处，$f^{(k)}(0) = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)$。这是一个非常重要的展开式，称为 二项式展开的推广： $$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n) \quad (x \to 0)$$

观察与记忆技巧：注意 $\sin x$ 是奇函数，其展开式只包含奇次幂项；$\cos x$ 是偶函数，其展开式只包含偶次幂项。这是一个普遍规律：奇（偶）函数的麦克劳林展开式必然只包含奇（偶）次幂项。这可以帮助我们检查和记忆展开式。

间接法求展开式示例

利用唯一性定理和已知展开式，我们可以通过求导、积分、变量替换等操作，轻松求得更多函数的展开式，而无需重复计算高阶导数。

示例：求 $\arctan x$ 的麦克劳林展开式

1. 我们知道 $\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$。
2. 利用几何级数展开（即 $(1+x)^\alpha$ 在 $\alpha = -1$ 时的特例，并将 $x$ 替换为 $x^2$）： $$\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots + (-1)^n x^{2n} + o(x^{2n+1}) \quad (x \to 0)$$
3. 根据唯一性定理，上式就是 $\frac{1}{1+x^2}$ 的麦克劳林展开式。
4. 对上式两边从 $0$ 到 $x$ 积分（常数项由 $\arctan 0 = 0$ 确定）： $$\begin{aligned} \arctan x &= \int_0^x \frac{1}{1+t^2} dt \ &= \int_0^x \left[ 1 - t^2 + t^4 - \cdots + (-1)^n t^{2n} + o(t^{2n+1}) \right] dt \ &= x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} + o(x^{2n+2}) \quad (x \to 0) \end{aligned}$$ 同样，我们得到了一个只含奇次幂项的展开式，符合 $\arctan x$ 是奇函数的性质。

类似地，可以通过对 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 的展开式积分得到 $\arcsin x$ 的展开式。这些技巧在学习了不定积分后会更加得心应手。

📝 动手练一练

1. 利用唯一性求展开式：已知 $e^x$ 和 $\sin x$ 的麦克劳林展开式，求函数 $f(x) = e^x \sin x$ 到 $x^3$ 项的麦克劳林展开式（即写出 $x^3$ 及以下的所有项，并加上 $o(x^3)$）。

   参考答案： 将 $e^x$ 和 $\sin x$ 展开到 $x^3$ 项： $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$ $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$ 两者相乘，只保留 $x^3$ 及以下的项： $$\begin{aligned} e^x \sin x &= \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right) \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + o(x^3) \ &= \left( x - \frac{x^3}{6} \right) + \left( x^2 - \frac{x^4}{6} \right) + \left( \frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{12} \right) + \left( \frac{x^4}{6} - \frac{x^6}{36} \right) + o(x^3) \ &= x + x^2 + \left( -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} \right)x^3 + o(x^3) \ &= x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3) \quad (x \to 0) \end{aligned}$$

2. 验证奇偶性规律：写出 $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ 的麦克劳林展开式的前四项（到 $x^4$ 项）。观察其是否符合该函数的奇偶性规律。

   参考答案： 利用 $e^x$ 和 $e^{-x}$ 的展开式： $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)$$ $$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)$$ 两者相加除以2： $$\cosh x = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x}) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) \quad (x \to 0)$$ 展开式中只含有偶次幂项（常数项视为 $x^0$），这与 $\cosh x$ 是偶函数的性质一致。

# 使用 sympy 验证泰勒展开式
import sympy as sp

# 定义符号变量
x = sp.symbols('x')
n = 4  # 展开到4阶

# 1. 验证 e^x 的展开式
f_exp = sp.exp(x)
taylor_exp = sp.series(f_exp, x, 0, n+1).removeO() # 展开到x^n，并移除余项符号
print("e^x 的麦克劳林展开（到 x^4）：")
print(sp.simplify(taylor_exp))
print("理论公式：1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24")
print("-" * 40)

# 2. 验证 sin x 的展开式
f_sin = sp.sin(x)
taylor_sin = sp.series(f_sin, x, 0, n+1).removeO()
print("sin x 的麦克劳林展开（到 x^4）：")
print(sp.simplify(taylor_sin))
print("理论公式：x - x^3/6")
print("-" * 40)

# 3. 验证动手练习1的结果：e^x * sin x
f_product = sp.exp(x) * sp.sin(x)
taylor_product = sp.series(f_product, x, 0, 4).removeO() # 展开到x^3
print("e^x * sin x 的麦克劳林展开（到 x^3）：")
print(sp.simplify(taylor_product))
print("理论计算得到：x + x^2 + x^3/3")
print("-" * 40)

# 4. 验证 cosh x 的展开式
f_cosh = sp.cosh(x)
taylor_cosh = sp.series(f_cosh, x, 0, n+1).removeO()
print("cosh x 的麦克劳林展开（到 x^4）：")
print(sp.simplify(taylor_cosh))
print("理论公式：1 + x^2/2 + x^4/24")

本章小结

本节我们深入探讨了分析学中极其重要的工具——泰勒公式。

要点回顾：

• 核心思想：用多项式在局部逼近复杂函数，多项式系数由函数在该点的各阶导数值唯一确定。
• 两种形式：带佩亚诺余项的泰勒公式（定性描述逼近误差阶数）是基础；后续还会学习带拉格朗日余项的泰勒公式（定量描述误差）。
• 唯一性定理：是间接法求泰勒展开的“尚方宝剑”，允许我们通过代数运算、求导积分等手段，从已知展开式推导出新展开式。
• 常见展开式：必须熟练掌握 $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\ln(1+x)$, $(1+x)^\alpha$ 的麦克劳林展开式及其收敛域（本节均为 $x \to 0$ 的局部性质）。
• 奇偶对称性：奇（偶）函数的麦克劳林展开式必然只含奇（偶）次幂项，这是一个有效的记忆和检验工具。

行动清单： 学完本节，你可以立即：

1. 推导练习：亲自动手，不查资料，从定义出发推导出 $e^x$ 和 $\cos x$ 的麦克劳林展开式。
2. 组合应用：尝试利用 $e^x$ 和 $\ln(1+x)$ 的展开式，推导 $e^{\ln(1+x)} = 1+x$ 的展开式，并验证其正确性，体会唯一性定理的妙用。
3. 编程验证：运行并理解本节提供的 Python 代码，尝试修改代码，验证 $\ln(1+x)$ 或 $(1+x)^{0.5}$（即 $\sqrt{1+x}$）的展开式。

泰勒公式是连接局部性质与全局行为的桥梁，在机器学习的最优化算法（如牛顿法）、物理模型的线性化、信号处理等领域有着根本性的应用。牢牢掌握它，就握紧了一把打开高阶数学与应用大门的钥匙。

— 小象教研组