函数极限及其性质

函数极限及其性质

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

在上一讲中，我们学习了序列的极限，它描述了当项数无限增大时，序列的变化趋势。然而，在人工智能领域，我们更多面对的是连续变化的函数。本讲将把极限的概念从离散的序列推广到连续的函数，系统介绍函数极限的四种趋向方式、严格的数学定义、核心性质及其计算方法。掌握函数极限是理解导数、积分以及后续所有连续数学概念的基础。

💡 核心导读

本节你将掌握：

1. 函数极限的四种趋向方式：从一点的两侧趋向、趋向于无穷大。
2. 极限的 $\epsilon$-$\delta$ 定义：理解函数极限的严格数学语言，区分单侧极限与双侧极限。
3. 函数极限的核心性质：唯一性、四则运算、复合运算、保号性与夹逼定理。
4. 多项式函数的极限计算技巧：掌握 $x \to \infty$ 与 $x \to 0$ 时的核心项提取方法。
5. 广义极限的概念：理解极限为无穷大（$\infty$）的含义。

函数极限的趋向方式

序列极限只有一种变化方式：项数 $n$ 趋于无穷（$n \to \infty$）。但对于定义在实数域上的函数 $f(x)$，其自变量 $x$ 的变化方式更加丰富，主要分为以下四类：

1. 趋向于一点的右侧：$x$ 从大于 $a$ 的方向无限接近 $a$，记作 $x \to a^+$ 或 $x \to a+0$。
2. 趋向于一点的左侧：$x$ 从小于 $a$ 的方向无限接近 $a$，记作 $x \to a^-$ 或 $x \to a-0$。
3. 趋向于一点（双侧）：$x$ 从左右两侧同时无限接近 $a$，记作 $x \to a$。
4. 趋向于无穷：$x$ 的绝对值无限增大。具体又分为：
   • $x \to +\infty$ （$x$ 沿正方向无限增大）
   • $x \to -\infty$ （$x$ 沿负方向无限减小）
   • $x \to \infty$ （$|x|$ 无限增大，即同时考虑正负无穷）

前两种针对数轴上某个具体点 $a$ 的单侧极限，后两种针对无穷远处的极限。第三种 $x \to a$ 是最常用到的双侧极限。

函数极限的定义与性质

单侧极限的 $\epsilon$-$\delta$ 定义

设函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的某个右侧邻域 $(a, a+\delta_0)$ 内有定义。若存在实数 $L$，使得对于任意给定的正数 $\epsilon$（无论多小），总存在正数 $\delta$，当 $x$ 满足 $0 < x - a < \delta$ 时，都有 $|f(x) - L| < \epsilon$ 成立，则称 $L$ 为 $f(x)$ 在 $x \to a^+$ 时的右极限，记作： $$\lim_{x \to a^+} f(x) = L \quad \text{或} \quad f(x) \to L \ (x \to a^+)$$

类似地，可以定义左极限 $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$，此时要求 $x$ 满足 $0 < a - x < \delta$。

关键理解：极限描述的是 $x$ 无限接近但不等于 $a$ 时，函数值 $f(x)$ 的变化趋势。因此，极限是否存在、等于多少，与函数在 $a$ 点本身是否有定义、取何值都无关。定义中的 $0 < |x-a|$ 正是为了强调这一点。

双侧极限及其与单侧极限的关系

若函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的某个去心邻域 $(a-\delta_0, a) \cup (a, a+\delta_0)$ 内有定义，且存在实数 $L$，使得对于任意 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，都有 $|f(x) - L| < \epsilon$，则称 $L$ 为 $f(x)$ 在 $x \to a$ 时的**（双侧）极限**，记作： $$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

重要定理：函数 $f(x)$ 在 $x \to a$ 时（双侧）极限存在的充分必要条件是，其左极限和右极限都存在且相等。即： $$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$$

如果左右极限不相等，或其中之一不存在，则双侧极限不存在。

函数极限的核心性质

1. 唯一性：若极限 $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在，则其极限值唯一。
2. 四则运算法则：若 $\lim_{x \to a} f(x) = L_1$， $\lim_{x \to a} g(x) = L_2$，且 $L_1, L_2$ 为有限数，则有：
   • $\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2$
   • $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L_1 \cdot L_2$
   • $\lim_{x \to a} [f(x) / g(x)] = L_1 / L_2 \quad (L_2 \neq 0)$ 本质：极限运算可以与加减乘除四则运算交换顺序。
3. 复合函数的极限：若 $\lim_{x \to x_0} g(x) = u_0$，且 $\lim_{u \to u_0} f(u) = A$，且在 $x_0$ 的某去心邻域内 $g(x) \neq u_0$，则有： $$\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = \lim_{u \to u_0} f(u) = A$$ 本质：极限运算可以与函数复合运算交换顺序（在满足条件下）。
4. 保号性：若在点 $a$ 的某去心邻域内恒有 $f(x) \ge g(x)$，且 $\lim_{x \to a} f(x) = L_1$， $\lim_{x \to a} g(x) = L_2$，则 $L_1 \ge L_2$。即使 $f(x) > g(x)$，结论也只能是 $L_1 \ge L_2$。
5. 夹逼定理（迫敛性）：若在点 $a$ 的某去心邻域内恒有 $g(x) \le f(x) \le h(x)$，且 $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$，则 $\lim_{x \to a} f(x) = L$。

无穷远处的极限与计算实例

无穷远处极限的定义

设函数 $f(x)$ 在 $(A, +\infty)$ 内有定义。若存在实数 $L$，使得对于任意 $\epsilon > 0$，总存在 $X > A$，当 $x > X$ 时，都有 $|f(x) - L| < \epsilon$，则称 $x \to +\infty$ 时 $f(x)$ 的极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$。 类似可定义 $x \to -\infty$ 的极限。而 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ 等价于 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = L$。

多项式函数极限的计算技巧

对于多项式 $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ ($a_n \neq 0$)：

• 当 $x \to \infty$ 时，最高次项 $a_n x^n$ 起主导作用。计算极限时，常分子分母同除以最高次幂。
• 当 $x \to 0$ 时，最低次项（常数项） $a_0$ 起主导作用。因为所有含 $x$ 的项都趋于 $0$。

实例分析：计算 $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 5}{3x^2 + x - 2}$。 分子分母同除以 $x^2$： $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 5}{3x^2 + x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{5}{x^2}}{3 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}} = \frac{2 - 0}{3 + 0 - 0} = \frac{2}{3}$$ 结论：若两多项式最高次相同，则 $x \to \infty$ 时的极限等于其最高次项系数之比。

广义极限

如果当 $x \to a$（或 $x \to \infty$）时，函数值 $|f(x)|$ 无限增大，我们称函数在该点的极限为无穷大，这是一种广义极限。例如，对于 $f(x) = \frac{1}{x-1}$：

• $\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x-1} = -\infty$ （左极限为负无穷）
• $\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x-1} = +\infty$ （右极限为正无穷）
• 由于左右极限不相等（且都不是有限数），故 $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1}$ 不存在。

import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 示例1：验证多项式极限计算
x = sp.symbols('x')
f_expr = (2*x**2 - 5) / (3*x**2 + x - 2)
limit_at_inf = sp.limit(f_expr, x, sp.oo) # 计算 x->∞ 的极限
limit_at_zero = sp.limit(f_expr, x, 0)    # 计算 x->0 的极限
print(f"lim_{{x->∞}} ({sp.latex(f_expr)}) = {limit_at_inf}")
print(f"lim_{{x->0}} ({sp.latex(f_expr)}) = {limit_at_zero}")

# 示例2：数值验证单侧极限与广义极限
def f_val(x_val):
    return 1/(x_val - 1)

# 生成靠近1左右两侧的点
x_left = np.linspace(0.5, 0.999, 500)
x_right = np.linspace(1.001, 1.5, 500)

y_left = f_val(x_left)
y_right = f_val(x_right)

print(f"\n当x从左侧接近1时，f(x)的样本值趋向于: {y_left[-5:]}")
print(f"当x从右侧接近1时，f(x)的样本值趋向于: {y_right[:5]}")

# 可视化（可选，展示趋势）
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.subplot(1,2,1)
x_vals = np.linspace(-10, 10, 1000)
x_vals = x_vals[x_vals != 1] # 排除奇点
plt.plot(x_vals, f_val(x_vals), label='f(x)=1/(x-1)')
plt.axvline(x=1, color='r', linestyle='--', label='x=1 (渐近线)')
plt.ylim(-10, 10)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.title('函数图像')

plt.subplot(1,2,2)
plt.plot(x_left, y_left, 'b-', label='左极限 (x->1^-)')
plt.plot(x_right, y_right, 'r-', label='右极限 (x->1^+)')
plt.axvline(x=1, color='k', linestyle='--')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.title('在x=1附近的局部行为')
plt.tight_layout()
plt.show()

📝 动手练一练

1. 计算极限：求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + x + 1} - 1}{x}$。 参考答案： 使用有理化方法： $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + x + 1} - 1}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x^2 + x + 1} - 1)(\sqrt{x^2 + x + 1} + 1)}{x(\sqrt{x^2 + x + 1} + 1)} \ &= \lim_{x \to 0} \frac{(x^2 + x + 1) - 1}{x(\sqrt{x^2 + x + 1} + 1)} \ &= \lim_{x \to 0} \frac{x(x + 1)}{x(\sqrt{x^2 + x + 1} + 1)} \ &= \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + x + 1} + 1} = \frac{0 + 1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2} \end{aligned}$$

2. 判断极限存在性：设 $f(x) = \frac{|x|}{x}$，讨论 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 是否存在。 参考答案： 计算单侧极限：

   • 右极限：当 $x > 0$ 时，$|x|=x$，故 $f(x)=1$，所以 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$。
   • 左极限：当 $x < 0$ 时，$|x|=-x$，故 $f(x)=-1$，所以 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$。 由于左右极限存在但不相等（$1 \ne -1$），根据定理，双侧极限 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 不存在。

本章小结

本节我们建立了函数极限的完整理论框架：

• 从离散到连续：将序列极限的概念推广到函数极限，明确了自变量 $x$ 趋向于一点或无穷的四种方式。
• 严格化定义：掌握了用 $\epsilon$-$\delta$ 语言精确描述函数极限，理解了单侧极限与双侧极限的区别与联系（双侧极限存在的充要条件是左右极限存在且相等）。
• 运算工具箱：学习了函数极限的唯一性、四则运算法则、复合运算法则、保号性和夹逼定理，这些都是进行极限计算和理论推导的基石。
• 实用计算技巧：针对多项式函数，掌握了 $x \to \infty$ 时抓最高次项、$x \to 0$ 时抓常数项的计算方法，并理解了广义极限（无穷大）的概念。

行动清单 学完本节，你可以立即：

1. 练习 $\epsilon$-$\delta$ 语言：尝试用此语言证明一个简单函数（如 $f(x)=2x+1$）的极限，巩固对极限本质的理解。
2. 分析函数奇点：找几个含有分母的函数（如 $\frac{1}{x-2}$, $\frac{x}{x^2-4}$），分析其在分母为零的点处的单侧极限、双侧极限或广义极限。
3. 代码验证：使用 Python 的 SymPy 库验证本节所有例题的计算结果，并尝试绘制函数图形来直观观察极限行为。

— 小象教研组