定义法求导

定义法求导

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

导数是微积分的核心概念，它描述了函数在某一点处变化的瞬时速率。本节我们将回归导数的本源定义，学习如何直接利用极限来求解各类基本初等函数的导数公式。掌握定义法不仅能加深对导数概念的理解，更是推导复杂函数求导法则的基础。

💡 核心导读

• 定义回顾：重温导数定义，理解其作为函数增量与自变量增量比值的极限本质。
• 常数与幂函数：从最简单的常数函数出发，推导出幂函数的通用求导公式。
• 指数与对数函数：运用换元法和等价无穷小，推导指数函数与对数函数的导数。
• 三角函数：结合和差化积公式与重要极限，推导正弦与余弦函数的导数。

导数定义回顾

导数的定义是微积分大厦的基石。函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，定义为自变量增量 $\Delta x$ 趋于 $0$ 时，函数增量与自变量增量比值的极限：

$$f’(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

若该极限存在，则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。若函数在其定义域内每一点都可导，则其导函数 $f’(x)$ 描述了原函数在各点处的瞬时变化率。

定义法求导，就是直接根据上述定义式，通过求极限来得到导数。接下来，我们将运用此法推导一系列基本初等函数的求导公式。

常数函数与幂函数的导数

常数函数的导数

设 $f(x) = c$，其中 $c$ 为常数。根据导数定义： $$f’(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{c - c}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} 0 = 0$$

由此得到第一个求导公式： $$\frac{d}{dx}(c) = 0$$

重要推论：反之，若一个函数 $f(x)$ 在其定义域内处处可导，且其导函数 $f’(x) \equiv 0$，则该函数必为常数函数。这是一个充要条件。

幂函数的导数

设 $f(x) = x^{\alpha}$，其中 $\alpha$ 为实数。我们假设 $x > 0$ 以保证函数有定义。根据定义： $$f’(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^{\alpha} - x^{\alpha}}{\Delta x}$$

为求此极限，我们对分子进行变形。提取公因子 $x^{\alpha}$： $$\begin{aligned} f’(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^{\alpha} \left[ \left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right)^{\alpha} - 1 \right]}{\Delta x} \ &= x^{\alpha} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right)^{\alpha} - 1}{\Delta x} \end{aligned}$$

令 $y = \frac{\Delta x}{x}$，则当 $\Delta x \to 0$ 时，$y \to 0$。极限变为： $$f’(x) = x^{\alpha} \cdot \lim_{y \to 0} \frac{(1 + y)^{\alpha} - 1}{x \cdot y} = x^{\alpha - 1} \cdot \lim_{y \to 0} \frac{(1 + y)^{\alpha} - 1}{y}$$

回忆等价无穷小关系：当 $y \to 0$ 时，$(1 + y)^{\alpha} - 1 \sim \alpha y$。因此： $$\lim_{y \to 0} \frac{(1 + y)^{\alpha} - 1}{y} = \alpha$$

代入上式，得到幂函数的求导公式： $$\frac{d}{dx}(x^{\alpha}) = \alpha x^{\alpha - 1}$$

公式解读：求导时，将指数 $\alpha$ 作为系数“拿下来”，然后将原指数减 $1$ 作为新的指数。

import sympy as sp
# 使用sympy验证幂函数求导公式
x = sp.symbols('x')
alpha = sp.symbols('alpha')
f = x**alpha
derivative = sp.diff(f, x)
print(f"函数 f(x) = x^{alpha} 的导数为：")
sp.pprint(derivative)
# 验证几个具体例子
for a in [2, 0.5, -1]:
    f_specific = x**a
    deriv_specific = sp.diff(f_specific, x)
    print(f"当 α = {a} 时，f'(x) = {deriv_specific}")

指数函数与对数函数的导数

指数函数的导数

设 $f(x) = a^{x}$，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$。根据定义： $$f’(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{x + \Delta x} - a^{x}}{\Delta x} = a^{x} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$$

令 $L = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$。为求此极限，进行换元。设 $y = a^{\Delta x}$，则 $\Delta x = \frac{\ln y}{\ln a}$，且当 $\Delta x \to 0$ 时，$y \to 1$。于是： $$L = \lim_{y \to 1} \frac{y - 1}{\frac{\ln y}{\ln a}} = \ln a \cdot \lim_{y \to 1} \frac{y - 1}{\ln y}$$

再令 $t = y - 1$，则 $y = 1 + t$，且当 $y \to 1$ 时，$t \to 0$。极限变为： $$L = \ln a \cdot \lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln(1 + t)}$$

回忆等价无穷小：当 $t \to 0$ 时，$\ln(1 + t) \sim t$。因此 $\lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln(1 + t)} = 1$。故 $L = \ln a$。

代入原式，得到指数函数的求导公式： $$\frac{d}{dx}(a^{x}) = a^{x} \ln a$$

特例：当底数 $a = e$（自然常数）时，$\ln e = 1$，公式简化为： $$\frac{d}{dx}(e^{x}) = e^{x}$$ 这表明以 $e$ 为底的指数函数，其导数等于自身，这是 $e$ 的一个重要特性。

对数函数的导数

设 $f(x) = \log_a x$，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$，$x > 0$。根据定义： $$f’(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a (x + \Delta x) - \log_a x}{\Delta x}$$

利用对数运算法则 $\log_a M - \log_a N = \log_a \frac{M}{N}$： $$\begin{aligned} f’(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \log_a \left( \frac{x + \Delta x}{x} \right) \ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \log_a \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right) \end{aligned}$$

令 $k = \frac{\Delta x}{x}$，则 $\Delta x = kx$，且当 $\Delta x \to 0$ 时，$k \to 0$。代入： $$f’(x) = \lim_{k \to 0} \frac{1}{kx} \log_a (1 + k) = \frac{1}{x} \cdot \lim_{k \to 0} \log_a (1 + k)^{\frac{1}{k}}$$

回忆重要极限：$\lim_{k \to 0} (1 + k)^{\frac{1}{k}} = e$。因此： $$f’(x) = \frac{1}{x} \cdot \log_a e$$

利用换底公式 $\log_a e = \frac{1}{\ln a}$，对数函数的求导公式可写为： $$\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}$$

特例：当底数 $a = e$ 时，$\ln e = 1$，公式简化为自然对数的求导公式： $$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$$

三角函数的导数

正弦函数的导数

设 $f(x) = \sin x$。根据定义： $$f’(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x}$$

运用和差化积公式 $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$： $$\begin{aligned} f’(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2 \cos \left( x + \frac{\Delta x}{2} \right) \sin \left( \frac{\Delta x}{2} \right)}{\Delta x} \ &= \lim_{\Delta x \to 0} \cos \left( x + \frac{\Delta x}{2} \right) \cdot \frac{\sin \left( \frac{\Delta x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}} \end{aligned}$$

当 $\Delta x \to 0$ 时：

• $\cos \left( x + \frac{\Delta x}{2} \right) \to \cos x$。
• 根据重要极限 $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$，令 $t = \frac{\Delta x}{2}$，则 $\frac{\sin \left( \frac{\Delta x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}} \to 1$。

因此： $$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$

余弦函数的导数

设 $f(x) = \cos x$。根据定义： $$f’(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x}$$

运用和差化积公式 $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$： $$\begin{aligned} f’(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2 \sin \left( x + \frac{\Delta x}{2} \right) \sin \left( \frac{\Delta x}{2} \right)}{\Delta x} \ &= -\lim_{\Delta x \to 0} \sin \left( x + \frac{\Delta x}{2} \right) \cdot \frac{\sin \left( \frac{\Delta x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}} \end{aligned}$$

同理，当 $\Delta x \to 0$ 时：

• $\sin \left( x + \frac{\Delta x}{2} \right) \to \sin x$。
• $\frac{\sin \left( \frac{\Delta x}{2} \right)}{\frac{\Delta x}{2}} \to 1$。

因此： $$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$

📝 动手练一练

1. 基础练习：利用导数定义，求函数 $f(x) = \sqrt{x}$ 在 $x=4$ 处的导数。 参考答案： 根据定义，$f’(4) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{4 + \Delta x} - 2}{\Delta x}$。 分子有理化：$\frac{\sqrt{4 + \Delta x} - 2}{\Delta x} = \frac{(\sqrt{4 + \Delta x} - 2)(\sqrt{4 + \Delta x} + 2)}{\Delta x (\sqrt{4 + \Delta x} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{4 + \Delta x} + 2}$。 因此，$f’(4) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{4 + \Delta x} + 2} = \frac{1}{4}$。

2. 综合应用：已知函数 $f(x) = 3^x$。 a) 利用定义法求 $f’(x)$。 b) 求曲线 $y = 3^x$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程。 参考答案： a) $f’(x) = 3^x \ln 3$。 b) 在点 $(0, 1)$ 处，斜率 $k = f’(0) = 3^0 \ln 3 = \ln 3$。切线方程为 $y - 1 = (\ln 3)(x - 0)$，即 $y = x \ln 3 + 1$。

本章小结

本节我们回归本源，利用导数的极限定义，系统地推导了基本初等函数的求导公式：

• 常数函数：$(c)’ = 0$
• 幂函数：$(x^{\alpha})’ = \alpha x^{\alpha - 1}$
• 指数函数：$(a^{x})’ = a^{x} \ln a$，特例 $(e^{x})’ = e^{x}$
• 对数函数：$(\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a}$，特例 $(\ln x)’ = \frac{1}{x}$
• 三角函数：$(\sin x)’ = \cos x$，$(\cos x)’ = -\sin x$

行动清单：

1. 熟记公式：将上述公式作为工具库的基础部分进行记忆，理解每个公式的推导逻辑。
2. 练习定义法：选取几个简单函数（如 $f(x)=x^2+1$），抛开公式，坚持用定义法从头计算其导数，巩固对概念的理解。
3. 代码验证：运行讲义中的 Python 代码，并尝试修改参数（如不同的 $\alpha$ 或底数 $a$），观察求导结果，建立符号计算与理论推导的联系。

— 小象教研组