分部积分法

分部积分法

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

在求解不定积分时，我们常常会遇到两个函数乘积的形式，例如 $x e^x$、$x \ln x$ 等。直接套用基本积分公式往往行不通。本节介绍的分部积分法，正是解决这类乘积函数积分问题的利器。它源于乘积的求导法则，通过巧妙地“转移”微分，将复杂的积分转化为相对简单的积分。掌握此法，你将能处理一大类常见且重要的积分问题。

💡 核心导读

本节将引导你建立分部积分法的完整知识体系：

1. 公式溯源：从乘积求导公式出发，推导出分部积分的基本公式。
2. 核心思想：理解公式中“$u$”与“$dv$”选择的策略，即“反对幂指三”的口诀及其原理。
3. 典型应用：通过三类经典例题（含反三角函数、对数函数、指数函数与幂函数的乘积），掌握分部积分的标准操作流程。
4. 循环积分：学习处理积分过程中出现“循环”或“自身”情况的技巧，即通过解方程求得积分结果。
5. 实用建议：明确在人工智能学习中对积分技能的要求，建立“知道可积、会查会用”的务实学习观。

公式推导与基本理解

分部积分法直接来源于函数乘积的求导法则。设 $u=u(x)$ 和 $v=v(x)$ 都是可微函数，则有： $$(uv)’ = u’v + uv’$$ 对等式两边同时求不定积分： $$\int (uv)’ dx = \int u’v dx + \int uv’ dx$$ 根据微积分基本定理，左边就是 $uv$ 本身（加上任意常数 $C$）。于是我们得到： $$uv = \int v du + \int u dv$$ 这里我们使用了微分记号 $du = u’ dx$ 和 $dv = v’ dx$。将上式移项，就得到了分部积分公式： $$\boxed{\int u dv = uv - \int v du}$$ 这个公式是本节所有讨论的基石。它的精妙之处在于，它将求解 $\int u dv$ 的难题，转化为了求解 $\int v du$ 的问题。如果后者比前者更简单，那么问题就得到了简化。

核心策略：成功应用分部积分法的关键在于如何选择 $u$ 和 $dv$。我们的目标是让新的积分 $\int v du$ 比原积分 $\int u dv$ 更容易计算。

关键函数类型与选取策略

根据求导和积分的特性，我们可以将常见函数分为几类，并总结出选取 $u$ 的优先级口诀：“反对幂指三”（或“反对幂指”）。这个口诀代表了在选择 $u$ 时的优先顺序：

1. 反三角函数（如 $\arcsin x, \arctan x$）
2. 对数函数（如 $\ln x$）
3. 幂函数（如 $x^n$）
4. 指数函数（如 $e^x, a^x$）
5. 三角函数（如 $\sin x, \cos x$）

为什么这样选？

• 反三角、对数函数：它们的导数形式非常简洁（分别是代数函数和分式函数），但它们的原函数很难直接写出。将其选为 $u$，求导后 $du$ 会变简单，从而简化新积分。
• 指数、三角函数：它们求导或积分后形式循环出现（如 $e^x$ 不变，$\sin x$ 和 $\cos x$ 互换）。将其选为 $dv$，积分得到 $v$ 很容易，且形式可控。
• 幂函数：求导会降次。将其与指数或三角函数配对时，选为 $u$，通过多次分部积分可以逐步降低幂次直至消去。

下面我们用例题来具体阐释这一策略。

典型例题解析

例1：含反三角函数的积分

求积分 $\int \arctan x dx$。

分析与解： 被积函数只有一个 $\arctan x$，我们可以将其视为 $1 \cdot \arctan x$。根据口诀，反三角函数优先选为 $u$。

• 设 $u = \arctan x$, $dv = dx$
• 则 $du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$

代入分部积分公式： $$\begin{aligned} \int \arctan x dx &= x \arctan x - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx \ &= x \arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{d(x^2+1)}{x^2+1} \quad \text{(凑微分)} \ &= x \arctan x - \frac{1}{2} \ln |x^2+1| + C \end{aligned}$$

import sympy as sp

# 使用 sympy 验证例1的结果
x = sp.symbols('x')
expr = sp.atan(x)  # arctan(x)
integral_result = sp.integrate(expr, x)
print(f"积分 ∫ arctan(x) dx 的结果为：")
print(integral_result)
print(f"简化后：{sp.simplify(integral_result)}")
# 输出：x*atan(x) - log(x**2 + 1)/2

例2：含对数函数的积分

求积分 $\int x^3 \ln x dx$。

分析与解： 被积函数是幂函数 $x^3$ 与对数函数 $\ln x$ 的乘积。根据口诀，对数函数 $\ln x$ 优先级高于幂函数，故选其为 $u$。但公式要求 $dv$ 要能容易地积出 $v$，因此需要把 $x^3 dx$ 整体视为 $dv$。

• 设 $u = \ln x$, $dv = x^3 dx$
• 则 $du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{4}x^4$

代入分部积分公式： $$\begin{aligned} \int x^3 \ln x dx &= \frac{1}{4}x^4 \ln x - \int \frac{1}{4}x^4 \cdot \frac{1}{x} dx \ &= \frac{1}{4}x^4 \ln x - \frac{1}{4} \int x^3 dx \ &= \frac{1}{4}x^4 \ln x - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}x^4 + C \ &= \frac{1}{4}x^4 \ln x - \frac{1}{16}x^4 + C \end{aligned}$$

例3：指数函数与幂函数的积分（降次型）

求积分 $\int x^2 e^x dx$。

分析与解： 这是幂函数 $x^2$ 与指数函数 $e^x$ 的乘积。根据口诀，幂函数优先级高于指数函数，故选 $u = x^2$，而 $e^x dx$ 很容易积分，故设 $dv = e^x dx$。

• 设 $u = x^2$, $dv = e^x dx$
• 则 $du = 2x dx$, $v = e^x$

第一次分部积分： $$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int e^x \cdot 2x dx = x^2 e^x - 2\int x e^x dx$$ 新的积分 $\int x e^x dx$ 仍然是幂函数与指数函数的乘积，但幂次已经从2降为1。我们再次应用分部积分：

• 对 $\int x e^x dx$，设 $u = x$, $dv = e^x dx$
• 则 $du = dx$, $v = e^x$

$$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C_1$$ 代回原式： $$\begin{aligned} \int x^2 e^x dx &= x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) + C \ &= x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C \ &= e^x (x^2 - 2x + 2) + C \end{aligned}$$ 这个过程清晰地展示了通过分部积分使幂函数“降次”直至消失的思路。

循环积分与解方程法

有些积分在应用一次或多次分部积分后，会重新出现原积分的形式，形成一个“循环”。这时可以通过解代数方程的方法求出积分结果。

例4：含根式的积分（产生自身）

求积分 $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx$，其中 $a > 0$。

分析与解： 这个积分可以用三角换元法求解，但用分部积分法也能得到相同结果，且过程富有启发性。 首先将其写为：$\int \sqrt{a^2 - x^2} \cdot 1 dx$。

• 设 $u = \sqrt{a^2 - x^2}$, $dv = dx$
• 则 $du = \frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$, $v = x$

代入分部积分公式： $$\begin{aligned} I = \int \sqrt{a^2 - x^2} dx &= x\sqrt{a^2 - x^2} - \int x \cdot \frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx \ &= x\sqrt{a^2 - x^2} + \int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx \end{aligned}$$ 对于新的积分，我们通过“加一项减一项”的技巧进行拆分： $$\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \int \frac{(x^2 - a^2) + a^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = -\int \sqrt{a^2 - x^2} dx + a^2 \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$$ 注意到 $-\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = -I$，而 $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{a} + C_1$。 将上述结果代回： $$I = x\sqrt{a^2 - x^2} + (-I) + a^2 \arcsin \frac{x}{a} + C_1$$ 现在，方程两边都出现了 $I$。将 $I$ 移项到同一边： $$I + I = x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \arcsin \frac{x}{a} + C_1$$ 解得： $$\boxed{\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{1}{2}x\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} + C}$$ 其中 $C = C_1/2$。

import sympy as sp

# 使用 sympy 验证例4的结果，令 a=2 为例
x, a = sp.symbols('x a', positive=True)
expr = sp.sqrt(a**2 - x**2)
integral_result = sp.integrate(expr, x)
print(f"\n积分 ∫ sqrt({a}^2 - x^2) dx 的结果为：")
print(integral_result.simplify())
# 输出：a**2*asin(x/a)/2 + x*sqrt(a**2 - x**2)/2

📝 动手练一练

1. 练习1：应用分部积分法计算积分 $\int x \cos(2x) dx$。

   参考答案： $$\begin{aligned} \int x \cos(2x) dx &= \frac{1}{2} x \sin(2x) - \int \frac{1}{2} \sin(2x) dx \quad (u=x, dv=\cos(2x)dx) \ &= \frac{1}{2} x \sin(2x) + \frac{1}{4} \cos(2x) + C \end{aligned}$$

2. 练习2：计算积分 $\int e^{2x} \sin(3x) dx$。提示：可能需要连续使用两次分部积分，并会出现循环。

   参考答案： 设 $I = \int e^{2x} \sin(3x) dx$。经过两次分部积分后可得方程： $I = -\frac{1}{3}e^{2x}\cos(3x) + \frac{2}{3}\int e^{2x}\cos(3x)dx$，再次分部积分后会出现含 $I$ 的项。 最终解得： $$I = e^{2x} \left( \frac{2\sin(3x) - 3\cos(3x)}{13} \right) + C$$

本章小结

本节深入探讨了求解不定积分的核心方法之一——分部积分法。

要点回顾：

• 公式本质：$\int u dv = uv - \int v du$，是乘积求导法则的积分形式。
• 选取策略：牢记“反对幂指三”口诀，优先将求导后变简单的函数选为 $u$，将易于积分的部分选为 $dv$。
• 应用场景：特别适用于被积函数是两类不同特性函数（如多项式与指数/三角、对数/反三角与多项式）乘积的情形。
• 进阶技巧：对于能通过多次分部积分“降次”的问题，坚持操作直至解决；对于出现“循环”的问题，善于通过解方程求得最终表达式。

行动清单： 学完本节，你可以立即：

1. 记忆公式与口诀：准确默写分部积分公式，并理解“反对幂指三”每个字代表的函数类型及选择理由。
2. 分类练习：从教材或资料中分别找出包含“反三角/对数”、“幂函数×指数/三角”的积分各2-3道，独立完成，巩固选取 $u$ 和 $dv$ 的直觉。
3. 建立工具意识：认识到对于复杂积分，现代计算工具（如Python的SymPy库、Wolfram Alpha）是强大的辅助。你的核心目标不是徒手计算所有积分，而是理解方法原理，并能在需要时指导或验证工具的计算。

— 小象教研组