一阶微分

一阶微分

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

在上一章我们学习了导数，它描述了函数在某一点变化的瞬时速率。然而，在算法实现和数值计算中，我们更关心的是：当输入发生一个微小变化时，输出会如何近似地线性变化？这正是微分要回答的核心问题。本节将建立微分的严格定义，揭示其与导数的等价关系，并通过“线性主部”这一几何直观，为你理解后续的优化算法（如梯度下降）奠定坚实的数学基础。

💡 核心导读

本节你将掌握：

1. 微分的定义：理解函数增量 $\Delta y$ 如何被分解为“线性主部” $A\Delta x$ 与一个更高阶的无穷小量 $o(\Delta x)$。
2. 可微与可导的等价性：证明对于一元函数，在某点可微与在该点可导是完全等价的，且微分系数 $A$ 就是导数 $f’(x_0)$。
3. 微分的几何意义：从图形上认识微分 $dy$ 是函数增量 $\Delta y$ 的线性近似，其误差是当 $\Delta x \to 0$ 时更快趋于零的量。
4. 一阶微分形式不变性：掌握复合函数微分计算的便捷法则，并了解其适用范围（仅对一元函数的一阶微分成立）。
5. 微分在近似计算中的应用：学习如何利用微分公式 $f(x_0+\Delta x) \approx f(x_0) + f’(x_0)\Delta x$ 进行快速估算。

1. 微分的概念：变化的线性近似

考虑一个函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。给自变量 $x$ 一个增量 $\Delta x$，函数值相应地产生增量 $\Delta y$： $$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$$

定义（微分）：如果函数增量 $\Delta y$ 可以表示为 $\Delta x$ 的一个线性函数与一个比 $\Delta x$ 更高阶的无穷小量之和，即存在一个与 $\Delta x$ 无关的常数 $A$，使得 $$\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x) \quad (\Delta x \to 0)$$ 其中 $o(\Delta x)$ 满足 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} = 0$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微。

并称 $A \Delta x$ 为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的微分，记作 $dy$ 或 $df(x_0)$，即： $$dy = df(x_0) = A \Delta x$$ 通常，记自变量的微分 $dx = \Delta x$，于是微分可以写作： $$dy = A dx$$

几何直观： 让我们通过图形来理解微分。下图展示了函数 $y=f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 附近的情况。

• $\Delta y$ 是曲线上两点间的纵向实际变化（$BC$ 段）。
• $dy$ 是函数在该点切线上的纵向变化（$BD$ 段），即 $dy = f’(x_0) dx$。
• 两者的差值 $\Delta y - dy = CD$ 就是高阶无穷小量 $o(\Delta x)$。当 $\Delta x$ 非常小时，$CD$ 的长度远小于 $BD$，因此可以用切线上的变化 $dy$ 来很好地近似实际变化 $\Delta y$。

微分的核心思想在于局部线性化：在 $x_0$ 的一个极小邻域内，复杂的函数 $f(x)$ 可以用一条简单的直线（其切线）来近似替代。这个线性近似的“主部”就是微分 $dy$，而近似的误差是一个更高阶的无穷小量。

2. 可微与可导的等价性

对于一元函数，可微性与我们熟悉的可导性有着深刻的内在联系。

定理：函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微的充分必要条件是它在点 $x_0$ 处可导。并且当可微（或可导）时，有 $A = f’(x_0)$，即 $$dy = f’(x_0) dx$$

证明：

1. 可微 $\Rightarrow$ 可导： 由可微定义， $\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)$。两边同除以 $\Delta x$ ($\Delta x \neq 0$)： $$\frac{\Delta y}{\Delta x} = A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$$ 令 $\Delta x \to 0$，对上式取极限： $$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = A + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} = A + 0 = A$$ 根据导数定义，该极限存在且等于 $A$，因此 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $f’(x_0) = A$。

2. 可导 $\Rightarrow$ 可微： 由可导定义， $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f’(x_0)$。 根据极限与无穷小量的关系，上式等价于： $$\frac{\Delta y}{\Delta x} = f’(x_0) + \alpha$$ 其中 $\alpha$ 是当 $\Delta x \to 0$ 时的无穷小量，即 $\alpha = o(1)$。 将上式改写为： $$\Delta y = f’(x_0) \Delta x + \alpha \Delta x$$ 由于 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\alpha \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \alpha = 0$，所以 $\alpha \Delta x = o(\Delta x)$。 因此，$\Delta y$ 被表示成了 $f’(x_0) \Delta x$（线性主部）与 $o(\Delta x)$（高阶无穷小）之和，满足可微的定义。且此时 $A = f’(x_0)$。

这个定理告诉我们，对于一元函数，“可微”和“可导”是描述同一现象的两个侧面：

• 可导：侧重于变化的瞬时比率（$dy/dx$）。
• 可微：侧重于变化的线性近似值（$dy = f’(x_0)dx$）。

由于 $dx = \Delta x$，导数也常被称为微商，即微分之商：$f’(x) = \frac{dy}{dx}$。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 验证可微与可导的等价性：以 f(x) = sin(x) 在 x0=0 为例
x0 = 0
f = lambda x: np.sin(x)
f_prime = lambda x: np.cos(x) # 导函数

# 取一系列逐渐减小的 Δx
delta_xs = np.array([0.5, 0.1, 0.05, 0.01, 0.005, 0.001])
print("Δx\t\tΔy\t\t\tf'(x0)Δx\t\t差值 (Δy - f'(x0)Δx)\t比值 (差值/Δx)")
print("-" * 90)

for dx in delta_xs:
    delta_y = f(x0 + dx) - f(x0) # 实际增量 Δy
    linear_approx = f_prime(x0) * dx # 线性近似 dy = f'(x0)dx
    error = delta_y - linear_approx # 近似误差 o(Δx)
    ratio = error / dx if dx != 0 else np.nan # 误差与 Δx 的比值
    print(f"{dx:.4f}\t{delta_y:.8f}\t{linear_approx:.8f}\t{error:.8f}\t\t{ratio:.8f}")

# 可视化：当 Δx 变小时，误差与 Δx 的比值趋于 0
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.loglog(delta_xs, np.abs(delta_xs), 'b--', label='|Δx| (参考线)')
plt.loglog(delta_xs, np.abs([f(x0+dx)-f(x0) - f_prime(x0)*dx for dx in delta_xs]), 'ro-', label='|Δy - f\'(x0)Δx|')
plt.xlabel('Δx')
plt.ylabel('绝对值')
plt.title('误差随 Δx 减小的趋势')
plt.legend()
plt.grid(True, which="both", ls="--")

plt.subplot(1, 2, 2)
ratios = [(f(x0+dx)-f(x0) - f_prime(x0)*dx)/dx for dx in delta_xs]
plt.semilogx(delta_xs, ratios, 'go-')
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle=':', alpha=0.5)
plt.xlabel('Δx')
plt.ylabel('(Δy - f\'(x0)Δx) / Δx')
plt.title('误差与 Δx 的比值趋于 0')
plt.grid(True, which="both", ls="--")
plt.tight_layout()
plt.show()

3. 微分的运算与一阶微分形式不变性

由于 $dy = f’(x)dx$，微分的运算法则可以直接从导数的运算法则推导出来。

微分四则运算法则：设 $u=u(x)$, $v=v(x)$ 可微，则 $$\begin{aligned} d(u \pm v) &= du \pm dv \ d(uv) &= v du + u dv \ d\left(\frac{u}{v}\right) &= \frac{v du - u dv}{v^2} \quad (v \neq 0) \end{aligned}$$

基本初等函数的微分公式：只需在对应的导数公式后乘以 $dx$。 $$\begin{aligned} d(C) &= 0 \ d(x^\mu) &= \mu x^{\mu-1} dx \ d(\sin x) &= \cos x , dx \ d(\cos x) &= -\sin x , dx \ d(\ln x) &= \frac{1}{x} dx \ d(e^x) &= e^x dx \ &\vdots \end{aligned}$$

一阶微分形式不变性：这是一个非常实用且重要的性质。 设 $y = f(u)$，而 $u = g(x)$，即 $y = f(g(x))$ 是复合函数。

• 如果 $u$ 是自变量，则微分 $dy = f’(u) du$。
• 如果 $u$ 是中间变量（即 $u = g(x)$），我们先用链式法则求导再写微分： $$dy = \frac{dy}{dx} dx = f’(u) g’(x) dx = f’(u) \cdot [g’(x) dx] = f’(u) du$$ 其中 $du = g’(x) dx$ 正是中间变量 $u$ 作为 $x$ 的函数时的微分。

结论：无论 $u$ 是自变量还是中间变量，函数 $y=f(u)$ 的微分形式都保持为 $dy = f’(u) du$。这就是一阶微分形式的不变性。

重要限制：此性质仅对一元函数的一阶微分成立。对于高阶微分或多元函数的微分，该形式不变性一般不再成立。

4. 微分的应用：函数值的近似计算

由微分定义 $\Delta y \approx dy$，我们可以得到一个实用的近似公式： $$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f’(x_0) \Delta x$$ 当 $|\Delta x|$ 很小时，这个线性近似具有足够的精度。

实例：估算 $\sqrt[4]{80}$ 的近似值。

解：

1. 构造函数：令 $f(x) = \sqrt[4]{x} = x^{1/4}$。
2. 选择易计算的点：取 $x_0 = 81$，因为 $f(81) = \sqrt[4]{81} = 3$ 是精确值。此时 $\Delta x = 80 - 81 = -1$。
3. 计算导数：$f’(x) = \frac{1}{4} x^{-3/4}$。在 $x_0=81$ 处， $$f’(81) = \frac{1}{4} \times 81^{-3/4} = \frac{1}{4} \times (3^4)^{-3/4} = \frac{1}{4} \times 3^{-3} = \frac{1}{4 \times 27} = \frac{1}{108}$$
4. 应用近似公式： $$f(80) \approx f(81) + f’(81) \cdot \Delta x = 3 + \frac{1}{108} \times (-1) = 3 - \frac{1}{108} \approx 2.99074074$$ 使用计算器可得 $\sqrt[4]{80} \approx 2.990697…$，我们的近似值与之非常接近，误差约为 $4.3 \times 10^{-5}$。

这个例子展示了微分近似的威力：通过在一个已知的“锚点”（$x_0$）进行线性外推，可以快速估算其邻近点的函数值，这在数值分析和工程估算中非常有用。

📝 动手练一练

1. 微分计算：设函数 $y = \ln(1 + e^{x^2})$，利用一阶微分形式不变性，求 $dy$。

2. 近似计算：利用微分近似计算 $\sin 31^\circ$ 的值。（提示：将角度转换为弧度，取 $x_0 = 30^\circ = \pi/6$，$\Delta x = 1^\circ = \pi/180$ 弧度。）

参考答案：

1. $dy = \frac{2x e^{x^2}}{1 + e^{x^2}} dx$。 （解析：令 $u = 1 + e^{x^2}$，则 $y = \ln u$。由形式不变性，$dy = \frac{1}{u} du$。又 $du = d(1 + e^{x^2}) = e^{x^2} d(x^2) = 2x e^{x^2} dx$。代入即得。）

2. $\sin 31^\circ \approx \sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{6}) \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{180} \approx 0.5 + 0.866025 \times 0.017453 \approx 0.515115$。 （计算器值约为 0.515038。）

本章小结

本节我们深入探讨了一元函数微分的核心思想与应用：

要点回顾：

1. 微分定义：函数增量 $\Delta y$ 可表示为线性主部 $A\Delta x$ 与高阶无穷小 $o(\Delta x)$ 之和，$A\Delta x$ 即称为微分 $dy$。
2. 几何意义：微分 $dy$ 是函数曲线在一点处切线的纵坐标增量，它是实际增量 $\Delta y$ 的最佳线性近似。
3. 核心定理：一元函数在一点可微 $\iff$ 在该点可导，且 $dy = f’(x_0) dx$。导数即微商 $dy/dx$。
4. 形式不变性：一阶微分具有形式不变性 $dy = f’(u) du$，无论 $u$ 是自变量还是中间变量，这极大简化了复合函数的微分计算。
5. 核心应用：近似计算公式 $f(x_0+\Delta x) \approx f(x_0) + f’(x_0)\Delta x$，在 $|\Delta x|$ 较小时能提供快速有效的估算。

行动清单： 学完本节，你可以立即：

1. 练习推导：任选一个基本初等函数，手动推导其微分公式 $dy = f’(x)dx$，并与导数公式对比，加深对“微商”的理解。
2. 代码验证：模仿示例代码，用 Python 对另一个函数（如 $f(x)=\cos(x)$）验证可微性，即观察 $|\Delta y - f’(x_0)\Delta x|$ 是否随 $\Delta x$ 减小而更快地趋于零。
3. 解决一个估算问题：尝试用微分近似计算 $\sqrt{65}$ 或 $e^{0.02}$ 的值，并与计算器结果对比，体会近似公式的精度与局限性。

— 小象教研组