变上限定积分

变上限定积分

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

定积分的结果通常是一个确定的数值。但如果我们让积分的上限“动起来”，会发生什么？本节将引入一个强大的工具——变上限定积分。它不仅将定积分与函数联系起来，更关键的是，它揭示了连续函数与其原函数之间深刻而直接的联系，是后续学习微积分基本定理的基石。学完本节，你将能理解并运用变上限定积分来构造原函数，并处理积分上限为复合函数时的求导问题。

💡 核心导读

• 定义与几何意义：将定积分的上限视为变量，得到一个关于上限的函数，其几何意义是“累积面积”。
• 核心定理：若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则其变上限定积分 $\Phi(x) = \int_a^x f(t) , dt$ 是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数。
• 定理的证明：利用积分中值定理，严格证明 $\Phi(x)$ 连续且可导，且 $\Phi’(x) = f(x)$。
• 复合上限的求导：当积分上限是 $x$ 的复合函数 $u(x)$ 时，求导需运用链式法则：$\frac{d}{dx} \int_a^{u(x)} f(t) , dt = f(u(x)) \cdot u’(x)$。
• 应用与验证：通过具体例题和Python代码，直观感受变上限定积分的性质并进行数值验证。

从定积分到函数：变上限定积分的定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续。对于区间内任意一点 $x \in [a, b]$，函数 $f(t)$ 在子区间 $[a, x]$ 上也可积。我们将积分上限 $x$ 视为变量，定义一个新的函数：

$$\Phi(x) = \int_a^x f(t) , dt, \quad x \in [a, b]$$

这个函数 $\Phi(x)$ 就称为 $f(x)$ 的变上限定积分。

它的几何意义非常直观。如下图所示，假设 $f(x) > 0$，那么 $\Phi(x)$ 的值就等于由曲线 $y=f(t)$、直线 $t=a$、$t=x$ 以及 $t$ 轴所围成的曲边梯形的面积。

$$\begin{aligned} & \text{面积} = \Phi(x) = \int_a^x f(t) , dt \ & \text{随着 } x \text{ 从 } a \text{ 移动到 } b \text{，这个“累积面积”会不断变化。} \end{aligned}$$

因此，$\Phi(x)$ 本质上是一个关于上限变量 $x$ 的函数。它的大小完全取决于 $x$ 在区间 $[a, b]$ 中所处的位置。区间起点 $a$ 是固定的，它决定了积分的“起点”，而 $b$ 则定义了函数 $\Phi(x)$ 的定义域右端点。

变上限定积分的核心定理

变上限定积分最重要的性质由以下定理给出，它连接了积分与微分这两个核心概念。

定理（原函数存在定理）：如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则其变上限定积分 $$\Phi(x) = \int_a^x f(t) , dt$$ 在 $[a, b]$ 上可导，且其导数就是被积函数本身： $$\Phi’(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) , dt = f(x), \quad x \in [a, b].$$ 换句话说，连续函数的变上限定积分，就是该连续函数的一个原函数。

定理的证明

我们分两步来证明这个关键定理：先证 $\Phi(x)$ 连续，再证其可导且导数等于 $f(x)$。

1. 证明 $\Phi(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续

任取 $x_0 \in (a, b)$。考虑 $\Phi(x)$ 在 $x_0$ 处的增量： $$\Phi(x) - \Phi(x_0) = \int_a^x f(t) , dt - \int_a^{x_0} f(t) , dt.$$ 根据定积分的区间可加性，有： $$\Phi(x) - \Phi(x_0) = \int_{x_0}^x f(t) , dt.$$ 对右端的积分应用积分中值定理。由于 $f(t)$ 连续，必存在一点 $c$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间，使得： $$\int_{x_0}^x f(t) , dt = f(c) \cdot (x - x_0).$$ 因此， $$\Phi(x) - \Phi(x_0) = f(c)(x - x_0).$$ 当 $x \to x_0$ 时，由于 $c$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间，必有 $c \to x_0$。又因为 $f(t)$ 连续，所以 $f(c) \to f(x_0)$。而 $(x - x_0) \to 0$，故： $$\lim_{x \to x_0} [\Phi(x) - \Phi(x_0)] = \lim_{x \to x_0} f(c)(x - x_0) = f(x_0) \cdot 0 = 0.$$ 这就证明了 $\lim_{x \to x_0} \Phi(x) = \Phi(x_0)$，即 $\Phi(x)$ 在 $x_0$ 处连续。对于端点 $a$ 和 $b$，可类似讨论单侧连续性。综上，$\Phi(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续。

2. 证明 $\Phi(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导且 $\Phi’(x) = f(x)$

仍考虑上述增量比： $$\frac{\Phi(x) - \Phi(x_0)}{x - x_0} = \frac{1}{x - x_0} \int_{x_0}^x f(t) , dt.$$ 再次应用积分中值定理： $$\frac{\Phi(x) - \Phi(x_0)}{x - x_0} = \frac{1}{x - x_0} \cdot f(c) \cdot (x - x_0) = f(c),$$ 其中 $c$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间。 当 $x \to x_0$ 时，同样有 $c \to x_0$。根据 $f(t)$ 的连续性，$f(c) \to f(x_0)$。因此： $$\Phi’(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\Phi(x) - \Phi(x_0)}{x - x_0} = \lim_{c \to x_0} f(c) = f(x_0).$$ 由于 $x_0$ 是 $(a, b)$ 内任意一点，这就证明了对于任意 $x \in (a, b)$，有 $\Phi’(x) = f(x)$。在端点处，结论对应为单侧导数。

定理的意义：这个定理不仅保证了连续函数一定存在原函数（解决了不定积分的存在性问题），而且给出了一个构造原函数的具体方法——变上限定积分。特别地，这个原函数满足 $\Phi(a) = \int_a^a f(t) , dt = 0$，这是一个非常特殊的性质。

当上限是复合函数时

在实际问题中，积分上限可能不是简单的 $x$，而是 $x$ 的一个函数，例如 $u(x) = 2x + 1$。考虑函数： $$F(x) = \int_0^{2x+1} e^t \sin(5t) , dt.$$ 如何求 $F’(x)$？

我们可以将 $F(x)$ 视为一个复合函数：$F(x) = \Phi(u(x))$，其中 $\Phi(u) = \int_0^u e^t \sin(5t) , dt$，且 $u(x) = 2x + 1$。

根据链式法则： $$F’(x) = \frac{dF}{dx} = \frac{d\Phi}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$$ 由变上限定积分定理，$\Phi’(u) = \frac{d}{du} \int_0^u e^t \sin(5t) , dt = e^u \sin(5u)$。 而 $u’(x) = 2$。 因此： $$F’(x) = \left. e^u \sin(5u) \right|_{u=2x+1} \cdot 2 = 2 e^{2x+1} \sin(5(2x+1)).$$

一般结论：若 $f(t)$ 连续，$u(x)$ 可导，则 $$\frac{d}{dx} \int_a^{u(x)} f(t) , dt = f(u(x)) \cdot u’(x).$$ 同理，若下限是函数 $v(x)$，则有 $$\frac{d}{dx} \int_{v(x)}^b f(t) , dt = -f(v(x)) \cdot v’(x).$$ 若上下限都是函数，则结合两者： $$\frac{d}{dx} \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) , dt = f(u(x))u’(x) - f(v(x))v’(x).$$

用代码验证定理

让我们用 Python 的 SymPy 库来数值化地验证变上限定积分的核心定理：$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) , dt = f(x)$。

import sympy as sp
import numpy as np

# 定义符号变量
x, t, a = sp.symbols('x t a')
# 定义一个连续函数 f(t)，例如 f(t) = sin(t^2) + t/2
f_t = sp.sin(t**2) + t/2

print("1. 验证变上限定积分定理")
print(f"被积函数 f(t) = {f_t}")

# 定义变上限定积分 Phi(x) = ∫_a^x f(t) dt
# 注意：这里 a 是一个符号常量，代表积分起点
Phi_x = sp.integrate(f_t, (t, a, x))
print(f"变上限定积分 Phi(x) = ∫_a^x f(t) dt = {sp.simplify(Phi_x)}")

# 对 Phi(x) 求导
Phi_prime = sp.diff(Phi_x, x)
print(f"Phi(x) 的导数 Phi'(x) = {Phi_prime}")

# 计算 f(x) (将f(t)表达式中的t替换为x)
f_x = f_t.subs(t, x)
print(f"f(x) = {f_x}")

# 判断两者是否相等
print(f"验证 Phi'(x) == f(x): {sp.simplify(Phi_prime - f_x) == 0}")

print("\n" + "="*50 + "\n")

print("2. 验证复合上限求导公式")
# 定义复合上限 u(x) = x^2 + 1
u_x = x**2 + 1
# 定义函数 F(x) = ∫_0^(x^2+1) e^t * sin(5t) dt
F_x = sp.integrate(sp.exp(t) * sp.sin(5*t), (t, 0, u_x))
print(f"F(x) = ∫_0^(x^2+1) e^t * sin(5t) dt")
print(f"F(x) 的表达式: {sp.simplify(F_x)}")

# 方法一：直接对F(x)求导
F_prime_direct = sp.diff(F_x, x)
print(f"直接求导 F'(x) = {sp.simplify(F_prime_direct)}")

# 方法二：应用公式 F'(x) = f(u(x)) * u'(x)
f_u = (sp.exp(t) * sp.sin(5*t)).subs(t, u_x)  # f(u(x))
u_prime = sp.diff(u_x, x)                     # u'(x)
F_prime_formula = f_u * u_prime
print(f"应用公式 F'(x) = f(u(x)) * u'(x) = {sp.simplify(F_prime_formula)}")

# 判断两种方法结果是否一致
print(f"两种方法结果一致: {sp.simplify(F_prime_direct - F_prime_formula) == 0}")

print("\n" + "="*50 + "\n")
print("3. 数值验证（选一个具体点）")
# 给常数a赋一个具体值，例如 a=0
a_val = 0
Phi_x_num = Phi_x.subs(a, a_val)
# 选择一个点进行验证，例如 x0 = 1.5
x0_val = 1.5
# 计算 Phi'(x0) 的数值
Phi_prime_num = sp.diff(Phi_x_num, x).subs(x, x0_val).evalf()
# 计算 f(x0) 的数值
f_x0_num = f_x.subs(x, x0_val).evalf()

print(f"当 a = {a_val}, 在 x0 = {x0_val} 处：")
print(f"  Phi‘({x0_val}) ≈ {Phi_prime_num}")
print(f"  f({x0_val})    ≈ {f_x0_num}")
print(f"  差值           ≈ {abs(Phi_prime_num - f_x0_num)}")

运行这段代码，你将看到：

1. 符号计算直接验证了 $\Phi’(x)$ 与 $f(x)$ 的表达式完全相等。
2. 对于复合上限的例子，直接求导与应用公式得到的结果一致。
3. 在具体数值点上，导数值与函数值在数值精度范围内相等。

这从计算的角度强有力地支持了我们证明的定理。

📝 动手练一练

1. 基础题：设 $f(x) = \cos(x^2)$，定义 $G(x) = \int_0^x f(t) , dt$。

   • a) 直接写出 $G’(x)$。
   • b) 求 $G”(x)$。
   • c) 计算 $G’(\sqrt{\pi/2})$。

2. 进阶题：已知 $H(x) = \int_{x^2}^{x^3} \frac{\ln(1+t^2)}{t} , dt$，其中 $x > 0$。求 $H’(x)$。

参考答案：

1. 基础题：

   • a) 由变上限定积分定理，$G’(x) = f(x) = \cos(x^2)$。
   • b) $G”(x) = \frac{d}{dx} \cos(x^2) = -2x \sin(x^2)$。
   • c) $G’(\sqrt{\pi/2}) = \cos((\sqrt{\pi/2})^2) = \cos(\pi/2) = 0$。

2. 进阶题： 设 $u(x)=x^3$，$v(x)=x^2$，$f(t) = \frac{\ln(1+t^2)}{t}$。 应用公式： $$\begin{aligned} H’(x) &= f(u(x)) \cdot u’(x) - f(v(x)) \cdot v’(x) \ &= \frac{\ln(1+(x^3)^2)}{x^3} \cdot 3x^2 - \frac{\ln(1+(x^2)^2)}{x^2} \cdot 2x \ &= \frac{3\ln(1+x^6)}{x} - \frac{2\ln(1+x^4)}{x}. \end{aligned}$$

本章小结

本节我们深入探讨了微积分中一个承上启下的核心概念——变上限定积分。

要点回顾：

• 定义：$\Phi(x) = \int_a^x f(t) , dt$ 将定积分的结果转化为关于上限 $x$ 的函数，其几何意义是“累积面积”。
• 核心定理：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $\Phi(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，且 $\Phi’(x) = f(x)$。这一定理不仅保证了连续函数原函数的存在性，还给出了一个具体的构造方法。
• 复合上限求导：当上限或下限是 $x$ 的函数时，求导需运用链式法则，公式为 $\frac{d}{dx} \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) , dt = f(u(x))u’(x) - f(v(x))v’(x)$。
• 数值验证：借助 SymPy 等符号计算工具，我们可以方便地验证定理的正确性，并处理复杂的符号微积分问题。

行动清单：

1. 理解构造：任选一个连续函数（如 $e^{-x^2}$），手动写出其以0为起点的变上限定积分表达式，并思考它作为原函数的意义。
2. 练习求导：找3道积分上下限包含 $x$ 的函数的求导练习题，分别用定义（增量法）和链式法则公式求解，对比结果。
3. 运行代码：将讲义中的 Python 代码复制到你的环境中运行，尝试修改被积函数 $f(t)$ 和上限函数 $u(x)$，观察输出结果，加深对定理和公式的理解。

— 小象教研组