复合函数，隐函数，参数式求导

复合函数、隐函数与参数式求导

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

在掌握了基本初等函数的导数后，我们面对更复杂的函数时，常常需要将它们分解为基本函数的组合。本节将学习三大核心求导法则：链式法则、隐函数求导与参数式求导。它们是处理神经网络反向传播、优化问题中梯度计算以及几何曲线分析的基础工具。学完本节，你将能够对绝大多数由初等函数复合、隐式定义或参数化表达的复杂函数进行求导。

💡 核心导读

本节将构建一套处理复杂函数求导的系统方法：

1. 链式法则：复合函数求导的核心，理解导数如何通过中间变量“链接”传递。
2. 隐函数求导：当函数关系由方程 $F(x, y)=0$ 隐式给定时，如何不显式解出 $y=f(x)$ 而直接求导。
3. 对数求导法：处理幂指函数或连乘形式的实用技巧，本质是链式法则与隐函数求导的结合。
4. 参数式求导：当变量 $x, y$ 均由另一参数 $t$ 表示时，如何计算 $\frac{dy}{dx}$，广泛应用于几何与物理中轨迹的分析。
5. 极坐标求导：作为参数式求导的一个特例，处理极坐标曲线 $r=r(\theta)$ 的切线斜率问题。

链式法则：复合函数求导

定理与直观理解

设有函数 $y=f(u)$ 在 $u_0$ 处可导，函数 $u=g(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $u_0 = g(x_0)$。则复合函数 $y = f(g(x))$ 在 $x_0$ 处可导，且其导数为： $$\frac{dy}{dx} \bigg|$${x=x_0} = \frac{dy}{du} \bigg|{u=u_0} \cdot \frac{du}{dx} \bigg|_{x=x_0} 或简记为： $$(f \circ g)‘(x_0) = f’(u_0) \cdot g’(x_0)$$

直观解释（莱布尼兹记号之美）： 将导数视为“微商”，链式法则变得非常直观： $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$ 形式上，$du$ 可以“约去”，这清晰地展示了导数如何通过中间变量 $u$ 从 $y$ 传递到 $x$，如同链条一样一环扣一环，故称“链式法则”。

应用示例

例1：求 $y = \sin(x^2)$ 的导数。 解：识别复合结构：$x \overset{g}{\longrightarrow} u = x^2 \overset{f}{\longrightarrow} y = \sin u$。

1. 外层导数：$\frac{dy}{du} = \cos u$。
2. 内层导数：$\frac{du}{dx} = 2x$。
3. 链式相乘：$\frac{dy}{dx} = \cos u \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$。

例2：求 $y = (\sin x)^2$ 的导数。 解：识别复合结构：$x \overset{g}{\longrightarrow} u = \sin x \overset{f}{\longrightarrow} y = u^2$。

1. 外层导数：$\frac{dy}{du} = 2u$。
2. 内层导数：$\frac{du}{dx} = \cos x$。
3. 链式相乘：$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot \cos x = 2\sin x \cos x = \sin(2x)$。

两个例子虽然最终表达式都是 $\sin(x^2)$ 和 $(\sin x)^2$，但复合顺序不同，求导过程也不同，关键在于正确识别函数的复合层次。

链式法则看反函数求导

设 $y=f(x)$ 可导且 $f’(x) \neq 0$，其反函数为 $x = f^{-1}(y)$。将 $y=f(x)$ 代入反函数得恒等式： $$f^{-1}(f(x)) = x$$ 两边对 $x$ 求导，应用链式法则： $$\frac{d}{dx}[f^{-1}(f(x))] = \frac{d f^{-1}(y)}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = 1$$ 即： $$\frac{d f^{-1}(y)}{dy} \cdot f’(x) = 1$$ 因此，反函数的导数公式为： $$\frac{d f^{-1}(y)}{dy} = \frac{1}{f’(x)} = \frac{1}{f’(f^{-1}(y))}$$ 这可以从链式法则自然推导，无需死记。

import sympy as sp

# 示例：使用sympy验证链式法则
x = sp.symbols('x')
# 例1: y = sin(x^2)
y1 = sp.sin(x**2)
dy1_dx = sp.diff(y1, x)
print(f"y = sin(x^2) 的导数: {dy1_dx}")
# 手动链式法则验证：令 u = x^2（用独立符号 u 对 sin(u) 求导，再代回 u = x^2）
u = sp.Symbol('u')
dy_du = sp.diff(sp.sin(u), u).subs(u, x**2)  # cos(x^2)
du_dx = sp.diff(x**2, x)                     # 2*x
print(f"链式法则计算: dy/du * du/dx = {dy_du * du_dx}")
print(f"两者是否相等: {sp.simplify(dy1_dx - dy_du*du_dx) == 0}\n")

# 例2: y = (sin x)^2
y2 = (sp.sin(x))**2
dy2_dx = sp.diff(y2, x)
print(f"y = (sin x)^2 的导数: {dy2_dx}")
print(f"化简形式: {sp.simplify(dy2_dx)}")

隐函数求导

概念与方法

若变量 $x$ 和 $y$ 之间的函数关系由一个方程 $F(x, y) = 0$ 所确定，则称 $y$ 是 $x$ 的隐函数。例如 $x^2 + y^2 = 1$ 定义了单位圆上的两个函数（上半圆和下半圆）。

隐函数求导法：将方程 $F(x, y)=0$ 中的 $y$ 视为 $x$ 的函数 $y(x)$，然后对方程两边关于 $x$ 求导，再利用链式法则，最后解出 $\frac{dy}{dx}$。

应用示例

例3：求由方程 $x^2 + y^2 = 1$ 所确定的隐函数 $y=y(x)$ 的导数。 解：

1. 两边对 $x$ 求导，将 $y$ 视为 $x$ 的函数： $$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(1)$$
2. 应用链式法则求 $\frac{d}{dx}(y^2)$： $$2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$$
3. 解出 $\frac{dy}{dx}$： $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$ 结果中允许保留 $y$，这正体现了隐函数求导的特点：无需（有时也无法）显式解出 $y=f(x)$。

例4（开普勒方程）：求由方程 $y - x - \epsilon \sin y = 0$ （$\epsilon$ 为常数）确定的隐函数的导数。 解：

1. 两边对 $x$ 求导： $$\frac{dy}{dx} - 1 - \epsilon \cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$$
2. 合并含有 $\frac{dy}{dx}$ 的项： $$(1 - \epsilon \cos y) \frac{dy}{dx} = 1$$
3. 解出导数： $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 - \epsilon \cos y}$$

对数求导法

方法与应用场景

当函数形如 $y = u(x)^{v(x)}$（幂指函数）或由多个因式连乘、除、乘方、开方构成时，直接求导繁琐。对数求导法是解决这类问题的利器：

1. 对函数等式两边取自然对数，利用对数性质化简（化乘为加，化幂为乘）。
2. 将得到的等式视为隐函数关系，两边对 $x$ 求导（即隐函数求导）。
3. 解出 $\frac{dy}{dx}$。

本质：是“取对数”+“隐函数求导”的组合技巧。

应用示例

例5：求 $y = x^{e^x}$ （$x>0$）的导数。 解：

1. 两边取自然对数： $$\ln y = \ln(x^{e^x}) = e^x \ln x$$
2. 两边对 $x$ 求导，左边应用链式法则： $$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x \ln x)$$
3. 计算右边导数（乘积法则）： $$\frac{d}{dx}(e^x \ln x) = e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x}$$
4. 解出 $\frac{dy}{dx}$ 并代回 $y$： $$\frac{dy}{dx} = y \cdot \left( e^x \ln x + \frac{e^x}{x} \right) = x^{e^x} e^x \left( \ln x + \frac{1}{x} \right)$$

import sympy as sp

# 示例：验证隐函数求导和对数求导
x, y, eps = sp.symbols('x y epsilon')
# 隐函数求导示例：x^2 + y^2 = 1
# 方法1: 使用sympy的idiff函数进行隐函数求导
expr_implicit = x**2 + y**2 - 1
dydx_implicit = sp.idiff(expr_implicit, y, x)
print(f"由 x^2 + y^2 = 1 确定的隐函数导数: dy/dx = {dydx_implicit}\n")

# 对数求导法示例：y = x^(exp(x))
y_func = x**(sp.exp(x))
# 直接求导
dy_direct = sp.diff(y_func, x)
print(f"y = x^(e^x) 直接求导结果:\n{dy_direct}\n")
# 手动对数求导过程验证
ln_y = sp.log(y)
# 构建方程 ln(y) = e^x * ln(x)
eq_log = sp.Eq(ln_y, sp.exp(x) * sp.log(x))
# 隐式求导
dydx_from_log = sp.idiff(eq_log.lhs - eq_log.rhs, y, x)
# idiff 直接返回 dy/dx 的表达式，代入 y = x^(e^x)
dydx_solved = dydx_from_log.subs(y, y_func)
print(f"通过对数求导法得到的结果:\n{dydx_solved}\n")
print(f"两种方法结果是否一致: {sp.simplify(dy_direct - dydx_solved) == 0}")

参数式与极坐标求导

参数式求导

若曲线由参数方程 $\begin{cases} x = x(t) \ y = y(t) \end{cases}$ 给出，且 $x(t), y(t)$ 可导，$x’(t) \neq 0$，则曲线在对应点的切线斜率为： $$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{y’(t)}{x’(t)}$$ 推导：视 $t$ 为 $x$ 的函数 $t=t(x)$（由 $x=x(t)$ 反函数得到），则 $y=y(t(x))$ 是 $x$ 的复合函数。由链式法则和反函数求导法则： $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{\frac{dx}{dt}} = \frac{y’(t)}{x’(t)}$$

例6：求椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的切线方程。 解：

1. 椭圆的参数方程为：$\begin{cases} x = a\cos t \ y = b\sin t \end{cases}$，设对应参数为 $t_0$。
2. 参数式求导得斜率： $$k = \frac{dy}{dx} = \frac{(b\sin t)’}{(a\cos t)’} = \frac{b\cos t}{-a\sin t} = -\frac{b}{a} \cot t$$ 或由隐函数求导直接得 $k = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$。
3. 切线方程（点斜式）： $$y - y_0 = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} (x - x_0)$$ 可整理为 $\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1$，形式对称易记。

极坐标求导

极坐标曲线 $r = r(\theta)$ 与直角坐标的转换关系为： $$\begin{cases} x = r(\theta) \cos \theta \ y = r(\theta) \sin \theta \end{cases}$$ 这本质上是参数方程为 $\theta$ 的参数式。因此，曲线在点 $(r, \theta)$ 处的切线斜率为： $$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{r’(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta}{r’(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta}$$ 此公式可作为参数式求导的特例，无需死记，用时依参数式求导法则推导即可。

📝 动手练一练

1. 复合函数求导：设 $y = \ln(1 + e^{2x})$，求 $\frac{dy}{dx}$。 参考答案： 令 $u = 1 + e^{2x}$，则 $y = \ln u$。 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{1+e^{2x}} \cdot (0 + e^{2x} \cdot 2) = \frac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}$。

2. 隐函数求导：已知方程 $e^{xy} + \sin(x+y) = 1$ 确定了 $y$ 是 $x$ 的函数，求 $\frac{dy}{dx}$ 在点 $(0,0)$ 处的值。 参考答案： 两边对 $x$ 求导：$e^{xy}(y + x\frac{dy}{dx}) + \cos(x+y)(1+\frac{dy}{dx}) = 0$。 代入 $(0,0)$：$e^{0}(0+0) + \cos(0)(1+\frac{dy}{dx}) = 0$，即 $1+\frac{dy}{dx}=0$。 所以 $\frac{dy}{dx}\big|_{(0,0)} = -1$。

本章小结

本节系统学习了三大类复杂函数的求导法则，它们是微积分工具箱中的重要组件：

• 链式法则：处理复合函数，核心是“由外到内，逐层求导，依次相乘”。
• 隐函数求导：处理由方程定义的函数，关键是“将 $y$ 视为 $x$ 的函数，两边对 $x$ 求导”。
• 对数求导法：处理幂指函数或复杂乘积商，步骤是“取对数、隐函数求导、解出导数”。
• 参数式求导：处理参数方程，公式为 $\frac{dy}{dx} = \frac{y’(t)}{x’(t)}$，极坐标求导是其特例。

行动清单

1. 练习分解：面对复杂函数，花30秒识别其结构（是复合、隐式、参数式还是幂指？），选择正确的求导路径。
2. 代码验证：使用 SymPy 等工具对至少3道手工求导的结果进行验证，确保计算无误，并理解工具输出的每一步。
3. 联系几何：选取一个参数方程（如摆线、星形线），编程绘制其曲线，并计算、绘制某点处的切线，直观理解导数 $\frac{dy}{dx}$ 的几何意义。

— 小象教研组