重要极限与等价无穷小

两个重要极限与等价无穷小

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

在上一节我们学习了函数极限的定义与基本性质，掌握了分析函数变化趋势的基本工具。然而，面对复杂的函数形式，直接使用定义求极限往往非常繁琐。本节我们将介绍两个在微积分中具有基石地位的“重要极限”，它们不仅是许多复杂极限问题的求解关键，更是后续推导导数公式、泰勒展开等核心内容的基础。同时，我们将系统学习“等价无穷小”的概念及其应用，这是简化极限计算、进行函数近似分析的有力武器。掌握本节内容，你将能高效处理大量常见极限问题，并为理解函数的局部线性近似做好铺垫。

💡 核心导读

本节你将掌握：

1. 第一个重要极限：$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ 的证明思路与理解。
2. 第二个重要极限：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 的几何证明及其意义——$\sin x$ 与 $x$ 是等价无穷小。
3. 等价无穷小：系统学习无穷小量阶的比较（高阶、同阶、等价），并熟记七组常用的等价无穷小关系。
4. 函数增长阶的比较：回顾并理解在 $x \to +\infty$ 时，对数函数、幂函数、指数函数、阶乘等增长快慢的阶序关系。

第一个重要极限：$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$

我们在序列极限中已经熟知：$\lim_{n \to +\infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$，其中 $n$ 是正整数。对于函数极限，我们需要考虑自变量 $x$ 连续地趋向于无穷（包括正无穷和负无穷）的情况，即证明： $$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$ 这里 $x \to \infty$ 意指 $|x| \to +\infty$。

证明思路：我们分别证明 $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 时极限均为 $e$，然后利用函数极限的性质得到 $x \to \infty$ 的结论。

情形一：$x \to +\infty$

当 $x > 1$ 时，我们可以用取整函数 $[x]$ 将 $x$ 夹在两个连续整数之间： $$[x] \le x < [x] + 1$$ 由此可得关于 $\frac{1}{x}$ 的不等式： $$\frac{1}{[x] + 1} < \frac{1}{x} \le \frac{1}{[x]}$$ 两边同时加 1： $$1 + \frac{1}{[x] + 1} < 1 + \frac{1}{x} \le 1 + \frac{1}{[x]}$$ 由于指数函数在底数大于 0 时是单调的，我们对不等式两边同时取 $x$ 次方。为了与已知的序列极限联系起来，我们需要进一步放缩指数，使其变为整数： $$\left(1 + \frac{1}{[x] + 1}\right)^x < \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \le \left(1 + \frac{1}{[x]}\right)^x$$ 对于左边，因为 $x < [x]+1$，且底数 $1 + \frac{1}{[x]+1} > 1$，所以有 $\left(1 + \frac{1}{[x] + 1}\right)^x < \left(1 + \frac{1}{[x] + 1}\right)^{[x]+1}$。 对于右边，因为 $x \ge [x]$，且底数 $1 + \frac{1}{[x]} > 1$，所以有 $\left(1 + \frac{1}{[x]}\right)^x \le \left(1 + \frac{1}{[x]}\right)^{[x]+1}$。

于是我们得到： $$\left(1 + \frac{1}{[x] + 1}\right)^{[x]+1} > \left(1 + \frac{1}{[x] + 1}\right)^x < \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \le \left(1 + \frac{1}{[x]}\right)^x < \left(1 + \frac{1}{[x]}\right)^{[x]+1}$$ 更严谨的夹逼结构可构造为： $$\left(1 + \frac{1}{[x] + 1}\right)^{[x]} < \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x < \left(1 + \frac{1}{[x]}\right)^{[x]+1}$$ 当 $x \to +\infty$ 时，$[x] \to +\infty$。考虑上述不等式两边的极限： $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{[x] + 1}\right)^{[x]} &= \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^n = \lim_{n \to +\infty} \frac{\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{1 + \frac{1}{n+1}} = \frac{e}{1} = e \ \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{[x]}\right)^{[x]+1} &= \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} = \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right) = e \cdot 1 = e \end{aligned}$$ 由夹逼定理可知： $$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$

情形二：$x \to -\infty$

令 $x = -y$，则当 $x \to -\infty$ 时，$y \to +\infty$。进行变量替换： $$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \left(1 - \frac{1}{y}\right)^{-y} = \left(\frac{y}{y-1}\right)^{y} = \left(1 + \frac{1}{y-1}\right)^{y}$$ 可以进一步写成： $$\left(1 + \frac{1}{y-1}\right)^{y} = \left(1 + \frac{1}{y-1}\right)^{y-1} \cdot \left(1 + \frac{1}{y-1}\right)$$ 当 $y \to +\infty$ 时，$y-1 \to +\infty$，根据情形一的结论： $$\lim_{y \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{y-1}\right)^{y-1} = e, \quad \lim_{y \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{y-1}\right) = 1$$ 因此： $$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \cdot 1 = e$$

综合情形一和情形二，我们证明了： $$\boxed{\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e}$$ 这是微积分中的第一个重要极限。

第二个重要极限：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 与等价无穷小

第二个重要极限的形式是： $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$ 其深刻意义在于：当 $x \to 0$ 时，$\sin x$ 与 $x$ 的比值趋于 1，这意味着 $\sin x$ 和 $x$ 是“等价无穷小量”。

证明：首先注意到函数 $\frac{\sin x}{x}$ 是偶函数（因为 $\sin(-x)/(-x) = \sin x / x$），因此我们只需考虑 $x$ 从右侧趋向于 0 ($x \to 0^+$) 的情况。证明的核心在于一个经典的几何不等式。

考虑单位圆（半径为 1）在第一象限的部分，设圆心角 $\angle AOB = x$（弧度制，$0 < x < \pi/2$）。点 $B$ 在 $x$ 轴上的投影为 $C$，过点 $A$ 作 $OB$ 的垂线，垂足为 $D$，延长 $OB$ 与过 $A$ 点垂直于 $x$ 轴的直线交于点 $E$（即 $AE$ 是圆弧在 $A$ 点的切线线段）。

比较三个图形的面积：

1. 直角三角形 $\triangle OAB$：面积 $S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x = \frac{\sin x}{2}$。
2. 扇形 $OAB$：面积 $S_{\text{扇形}OAB} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 1^2 = \frac{x}{2}$。
3. 直角三角形 $\triangle OAE$：面积 $S_{\triangle OAE} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x = \frac{\tan x}{2}$。

从几何关系上明显有： $$S_{\triangle OAB} < S_{\text{扇形}OAB} < S_{\triangle OAE}$$ 即： $$\frac{\sin x}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\tan x}{2}$$ 同时除以 $\frac{x}{2} > 0$，得到： $$\frac{\sin x}{x} < 1 < \frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}$$ 整理这个双重不等式： $$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$$ 现在，当 $x \to 0^+$ 时，$\lim_{x \to 0^+} \cos x = 1$，$\lim_{x \to 0^+} 1 = 1$。由夹逼定理，立得： $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$$ 结合偶函数性质，最终有： $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}$$ 这是微积分中的第二个重要极限。它直接告诉我们： $$\sin x \sim x \quad (x \to 0)$$ 符号“$\sim$”表示“等价无穷小”。

无穷小量的阶与等价无穷小

设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义，且 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$，$\lim_{x \to x_0} g(x) = 0$（即均为无穷小量）。

1. 高阶无穷小：如果 $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$，记作 $f(x) = o(g(x)) \ (x \to x_0)$。表示 $f(x)$ 比 $g(x)$ 更快地趋于 0。
2. 同阶无穷小：如果 $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = C \neq 0$（$C$ 为常数），则称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是同阶无穷小。
3. 等价无穷小：如果 $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，记作 $f(x) \sim g(x) \ (x \to x_0)$。这是同阶无穷小中 $C=1$ 的特殊情况，也是最常用的一种关系。

类似地可以定义无穷大量的阶（如 $f(x) = O(g(x))$ 表示 $f$ 的增长速度不超过 $g$）。

基于两个重要极限和已知的数学公式，我们可以推导出一系列常用的等价无穷小关系（当 $x \to 0$ 时）：

1. $\sin x \sim x$， 即 $\sin x = x + o(x)$
2. $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$， 即 $\cos x = 1 - \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)$
3. $\tan x \sim x$， 即 $\tan x = x + o(x)$
4. $\arcsin x \sim x$， 即 $\arcsin x = x + o(x)$
5. $\ln(1+x) \sim x$， 即 $\ln(1+x) = x + o(x)$
6. $e^x - 1 \sim x$， 即 $e^x = 1 + x + o(x)$
7. $(1+x)^\mu - 1 \sim \mu x$ （$\mu$ 为常数）， 即 $(1+x)^\mu = 1 + \mu x + o(x)$

记忆与理解要点：

• 这些关系本质上是函数在 $x=0$ 附近的一阶或二阶近似。
• 等式右边“$o(\cdot)$”中的内容，指明了前面展开项（如 $x$, $x^2$）的阶数，剩下的误差是比它更高阶的无穷小。
• 这七组关系是进行极限计算（特别是“$\frac{0}{0}$”型未定式）时进行等价替换的理论依据，必须熟练掌握。

import numpy as np
import sympy as sp

# 使用数值计算和符号计算验证几个等价无穷小关系
print("数值验证 (x=0.001):")
x_val = 0.001
print(f"sin(x) / x = {np.sin(x_val) / x_val:.10f}")
print(f"(1-cos(x)) / (0.5*x^2) = {(1-np.cos(x_val)) / (0.5*x_val**2):.10f}")
print(f"ln(1+x) / x = {np.log(1+x_val) / x_val:.10f}")
print(f"(exp(x)-1) / x = {(np.exp(x_val)-1) / x_val:.10f}")

print("\n符号计算验证极限:")
x = sp.symbols('x')
print(f"lim sin(x)/x = {sp.limit(sp.sin(x)/x, x, 0)}")
print(f"lim (1-cos(x))/(x**2/2) = {sp.limit((1-sp.cos(x))/(x**2/2), x, 0)}")
print(f"lim ln(1+x)/x = {sp.limit(sp.log(1+x)/x, x, 0)}")
print(f"lim (exp(x)-1)/x = {sp.limit((sp.exp(x)-1)/x, x, 0)}")

# 验证 (1+x)^0.5 - 1 ~ 0.5x
mu = 0.5
expr = ((1+x)**mu - 1) / (mu*x)
print(f"lim ((1+x)^{mu}-1)/({mu}*x) = {sp.limit(expr, x, 0)}")

函数增长阶的比较（$x \to +\infty$）

在分析算法复杂度或函数在无穷远处的行为时，比较不同函数的增长速度快慢至关重要。这与序列极限中的结论类似：

当 $x \to +\infty$ 时，常见的函数类型按增长速度快慢排序如下（“$<$”表示增长速度更慢，即阶更低）： $$\ln x < x^a < b^x < x! < x^x \quad (a>0, b>1)$$ 更精确地理解：

• $\ln x$ 是对数增长，最慢。
• $x^a$ 是多项式增长，指数 $a$ 越大增长越快。
• $b^x$ 是指数增长，比任何多项式增长都快。
• $x!$ 是阶乘增长，比指数增长更快。
• $x^x$ 是超指数增长，最快。

形式化表述（以对数和幂函数为例）： $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^a} = 0 \quad (a>0)$$ 这意味着对于任意 $a>0$，$\ln x$ 都是比 $x^a$ 低阶的无穷大量（在 $x\to+\infty$ 时）。其他关系的证明思路类似，常利用取整放缩与已知的序列极限结论。

📝 动手练一练

1. 基础计算：利用等价无穷小替换，求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(5x)}$。

2. 综合应用：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x} - \sqrt{1-3x}}{x}$。（提示：考虑 $(1+u)^\mu - 1 \sim \mu u$）

参考答案：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(5x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$。
2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x} - \sqrt{1-3x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{[(1+2x)^{1/2} - 1] - [(1-3x)^{1/2} - 1]}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}\cdot 2x - \frac{1}{2}\cdot (-3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x + 1.5x}{x} = 2.5$。

本章小结

本节我们深入探讨了函数极限理论中两个具有枢纽地位的重要极限，并以此为基础，系统建立了等价无穷小的理论框架。

要点回顾：

• 第一个重要极限 $\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$ 的证明，关键是将连续变量 $x$ 通过取整放缩到整数序列，再利用夹逼定理。
• 第二个重要极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 的证明，基于单位圆的几何面积比较，其核心结论是 $\sin x \sim x (x\to 0)$。
• 等价无穷小是一类特殊的同阶无穷小（比值为1），七组常用关系揭示了基本初等函数在零点附近的主要线性（或二次）部分，是简化极限计算的利器。
• 增长阶比较明确了在 $x\to +\infty$ 时，对数、多项式、指数、阶乘等函数的“增长速度”排序，这对后续分析算法复杂度、函数渐近行为至关重要。

行动清单： 学完本节，你可以立即：

1. 熟记七组等价无穷小关系：尝试不看书本，独立写出当 $x\to 0$ 时，$\sin x, \cos x, \ln(1+x), e^x$ 等函数的等价形式或展开到一阶/二阶的带皮亚诺余项表达式。
2. 应用练习：找 5-10 道涉及“$\frac{0}{0}$”型未定式的极限计算题，有意识地使用等价无穷小替换进行求解，体会其便捷性。
3. 代码验证：运行讲义中的 Python 代码，并尝试修改 x_val 为更小的值（如 $10^{-6}$）或更大的值（如 $10^6$），观察数值结果如何逼近理论极限，直观感受无穷小和无穷大的阶。

— 小象教研组