旋转体体积

旋转体体积

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

在掌握了定积分计算平面图形面积之后，我们将其思想推广到三维空间，学习如何计算旋转体的体积。旋转体是几何与工程中常见的形体，例如花瓶、车轮、容器等。本节将学习利用“微元法”建立旋转体体积的通用积分公式，并通过推导圆锥体积公式和计算椭球体、圆环体体积，来巩固这一核心的积分思想。

💡 核心导读

• 核心思想：将旋转体视为由无数个“薄圆片”或“薄圆环”堆叠而成，通过积分求和得到总体积。
• 核心公式：绕 x 轴旋转的体积公式为 $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 , dx$；绕 y 轴旋转需根据函数关系进行变量代换。
• 方法拓展：对于绕平行于坐标轴的直线旋转，或由两个函数围成的区域旋转产生的“空心”旋转体，需使用“圆环法”（垫圈法）。
• 实践验证：我们将使用 Python 的 SymPy 库来符号化推导圆锥体积公式，并数值验证椭圆旋转体体积的计算结果。

旋转体与体积微元法

旋转体是由一个平面图形绕该平面内的一条定直线（旋转轴）旋转一周所形成的立体。

考虑一个在区间 $[a, b]$ 上非负的连续函数 $y = f(x)$，其图像与 $x$ 轴及直线 $x=a$， $x=b$ 围成一个曲边梯形。当这个曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周时，就形成了一个旋转体。

如何求这个旋转体的体积 $V$？我们采用微元法（元素法）：

1. 分割：将区间 $[a, b]$ 分割为许多小区间，任取其中一个代表性小区间 $[x, x+dx]$。
2. 近似：对应于这个小区间的薄片，近似看作一个底面半径为 $f(x)$、高为 $dx$ 的薄圆柱体（或称“圆片”）。
3. 求微元：这个薄圆柱体的体积微元 $dV$ 为： $$dV = \pi [f(x)]^2 , dx$$ 这里，$\pi [f(x)]^2$ 是薄片的底面积（圆面积），$dx$ 是其厚度。
4. 积分求和：将所有这样的薄片体积从 $x=a$ 到 $x=b$ “垒”起来，即对体积微元进行定积分，得到总体积： $$V = \int_a^b dV = \pi \int_a^b [f(x)]^2 , dx$$

这就是绕 x 轴旋转的旋转体体积公式。其核心在于理解“以直代曲，以不变代变”，用无数个薄圆柱体的和来逼近复杂的旋转体。

同理，如果由曲线 $x = g(y)$，直线 $y=c$， $y=d$ 及 $y$ 轴围成的图形绕 $y$ 轴旋转，则体积公式为： $$V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 , dy$$

公式应用：推导圆锥体积公式

已知圆锥的底面半径为 $R$，高为 $h$。我们可以将其视为一个直角三角形绕其一条直角边旋转而成。

思路： 建立直角坐标系，令圆锥的顶点在 $(0, h)$，底面中心在原点 $(0, 0)$，底面在 $xOy$ 平面上。考虑由点 $(0, h)$， $(R, 0)$ 和原点 $(0,0)$ 构成的直角三角形。该三角形绕 $y$ 轴（即图中直角边）旋转一周即得圆锥。

此时，旋转轴是 $y$ 轴，我们沿 $y$ 轴方向进行分割。对于任意 $y \in [0, h]$，过点 $(0, y)$ 作垂直于 $y$ 轴的平面，截圆锥得到一个圆面，其半径记为 $x$。

由相似三角形关系可得： $$\frac{x}{h - y} = \frac{R}{h}$$ 解得： $$x = \frac{R}{h}(h - y) = R - \frac{R}{h}y$$

这个 $x$ 就是对应 $y$ 处薄圆片的半径。因此，体积微元为： $$dV = \pi x^2 , dy = \pi \left( R - \frac{R}{h}y \right)^2 dy$$

对 $y$ 从 $0$ 到 $h$ 积分，得到圆锥体积： $$\begin{aligned} V &= \pi \int_0^h \left( R - \frac{R}{h}y \right)^2 dy \ &= \pi R^2 \int_0^h \left( 1 - \frac{y}{h} \right)^2 dy \end{aligned}$$

利用定积分的性质，作变量代换 $u = h - y$，则 $du = -dy$，当 $y=0$ 时 $u=h$，当 $y=h$ 时 $u=0$。积分变为： $$\begin{aligned} V &= \pi R^2 \int_0^h \left( 1 - \frac{y}{h} \right)^2 dy \ &= \pi R^2 \int_h^0 \left( \frac{u}{h} \right)^2 (-du) \ &= \pi R^2 \int_0^h \left( \frac{u}{h} \right)^2 du \ &= \pi R^2 \cdot \frac{1}{h^2} \int_0^h u^2 du \ &= \pi R^2 \cdot \frac{1}{h^2} \cdot \left[ \frac{1}{3} u^3 \right]_0^h \ &= \pi R^2 \cdot \frac{1}{h^2} \cdot \frac{1}{3} h^3 \ &= \frac{1}{3} \pi R^2 h \end{aligned}$$

由此我们严格推导出了圆锥体积公式：$V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$。它恰好是同底等高圆柱体积 $\pi R^2 h$ 的三分之一。

import sympy as sp

# 符号定义
R, h, y = sp.symbols('R h y', positive=True)
# 圆锥体积积分表达式
V_expr = sp.pi * (R - (R/h)*y)**2
# 计算定积分
V = sp.integrate(V_expr, (y, 0, h))
print(f"圆锥体积 V = {sp.simplify(V)}")
# 输出: 圆锥体积 V = pi*R**2*h/3

复杂情形：椭圆旋转体与圆环法

考虑椭圆 $\frac{(x-4)^2}{(3/2)^2} + y^2 = 1$，即中心在 $(4,0)$，长半轴 $a=3/2$，短半轴 $b=1$。我们分别计算其绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转所得立体的体积。

绕 x 轴旋转（圆盘法）

椭圆绕 $x$ 轴旋转形成一个椭球体。我们只需考虑上半部分曲线 $y = \sqrt{1 - \frac{4}{9}(x-4)^2}$，其中 $x$ 的取值范围由椭圆方程决定：$\frac{(x-4)^2}{(3/2)^2} \le 1$，解得 $x \in [4 - 3/2, 4 + 3/2] = [5/2, 11/2]$。

使用绕 $x$ 轴旋转的体积公式： $$V_1 = \pi \int_{5/2}^{11/2} \left[ \sqrt{1 - \frac{4}{9}(x-4)^2} \right]^2 dx = \pi \int_{5/2}^{11/2} \left[ 1 - \frac{4}{9}(x-4)^2 \right] dx$$

计算该积分： $$\begin{aligned} V_1 &= \pi \left[ \int_{5/2}^{11/2} 1 , dx - \frac{4}{9} \int_{5/2}^{11/2} (x-4)^2 dx \right] \ &= \pi \left( \left[ x \right]$${5/2}^{11/2} - \frac{4}{9} \left[ \frac{1}{3}(x-4)^3 \right]{5/2}^{11/2} \right) \ &= \pi \left( \left( \frac{11}{2} - \frac{5}{2} \right) - \frac{4}{27} \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^3 - \left( -\frac{3}{2} \right)^3 \right] \right) \ &= \pi \left( 3 - \frac{4}{27} \cdot 2 \cdot \frac{27}{8} \right) \ &= \pi \left( 3 - 1 \right) \ &= 2\pi \end{aligned}

所以，该椭圆绕 $x$ 轴旋转所得椭球体的体积为 $2\pi$。

绕 y 轴旋转（圆环法）

椭圆绕 $y$ 轴旋转会形成一个圆环体（形如甜甜圈），中间是空心的。此时，沿 $y$ 轴方向切割，得到的截面是一个圆环。

对于固定的 $y \in [-1, 1]$，从椭圆方程可以解出对应的两个 $x$ 值（内径和外径）： $$x = 4 \pm \frac{3}{2}\sqrt{1 - y^2}$$ 其中，$x_2 = 4 + \frac{3}{2}\sqrt{1 - y^2}$ 是外半径，$x_1 = 4 - \frac{3}{2}\sqrt{1 - y^2}$ 是内半径。

对应于厚度为 $dy$ 的薄片，其形状是一个圆环。圆环的面积是外圆面积减去内圆面积： $$\text{圆环面积} = \pi x_2^2 - \pi x_1^2 = \pi (x_2^2 - x_1^2)$$

因此，体积微元为： $$dV = \pi \left[ \left(4 + \frac{3}{2}\sqrt{1 - y^2}\right)^2 - \left(4 - \frac{3}{2}\sqrt{1 - y^2}\right)^2 \right] dy$$

对 $y$ 从 $-1$ 到 $1$ 积分： $$V_2 = \pi \int_{-1}^{1} \left[ \left(4 + \frac{3}{2}\sqrt{1 - y^2}\right)^2 - \left(4 - \frac{3}{2}\sqrt{1 - y^2}\right)^2 \right] dy$$

利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ 简化被积函数： $$\begin{aligned} x_2^2 - x_1^2 &= (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) \ &= \left[ \left(4 + \frac{3}{2}\sqrt{1 - y^2}\right) - \left(4 - \frac{3}{2}\sqrt{1 - y^2}\right) \right] \cdot \left[ \left(4 + \frac{3}{2}\sqrt{1 - y^2}\right) + \left(4 - \frac{3}{2}\sqrt{1 - y^2}\right) \right] \ &= \left( 3\sqrt{1 - y^2} \right) \cdot (8) \ &= 24\sqrt{1 - y^2} \end{aligned}$$

因此，体积公式简化为： $$V_2 = \pi \int_{-1}^{1} 24\sqrt{1 - y^2} , dy = 24\pi \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - y^2} , dy$$

注意到定积分的值与积分变量符号无关，$\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - y^2} , dy = \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} , dx$，后者是上半圆 $y=\sqrt{1-x^2}$ 与 $x$ 轴围成的面积，其值为 $\pi/2$。所以： $$V_2 = 24\pi \cdot \frac{\pi}{2} = 12\pi^2$$

所以，该椭圆绕 $y$ 轴旋转所得圆环体的体积为 $12\pi^2$。

import sympy as sp
import numpy as np

# 符号计算验证椭圆旋转体体积
x, y = sp.symbols('x y')
# 定义参数
a = sp.Rational(3, 2)  # 长半轴
b = 1                   # 短半轴
center = 4

# 1. 绕x轴旋转体积 V1
# 上半椭圆函数 y = b * sqrt(1 - ((x-center)/a)^2)
# 体积公式: V1 = pi * ∫ y^2 dx, x从 center-a 到 center+a
x_low = center - a
x_high = center + a
y_squared = b**2 * (1 - ((x - center)/a)**2)
V1_sym = sp.pi * sp.integrate(y_squared, (x, x_low, x_high))
print(f"绕 x 轴旋转体积 V1 (符号计算) = {V1_sym}")
print(f"V1 的数值 = {V1_sym.evalf()}")

# 2. 绕y轴旋转体积 V2 (圆环法)
# 对于给定的y，解椭圆方程得到两个x值: x = center ± a*sqrt(1 - (y/b)^2)
# 体积公式: V2 = pi * ∫ [ (x_right)^2 - (x_left)^2 ] dy, y从 -b 到 b
y_low = -b
y_high = b
x_right = center + a * sp.sqrt(1 - (y/b)**2)
x_left = center - a * sp.sqrt(1 - (y/b)**2)
integrand = x_right**2 - x_left**2
V2_sym = sp.pi * sp.integrate(integrand, (y, y_low, y_high))
print(f"\n绕 y 轴旋转体积 V2 (符号计算) = {V2_sym}")
print(f"V2 的数值 = {V2_sym.evalf()}")

# 数值验证简化后的积分 ∫_{-1}^{1} sqrt(1-y^2) dy = π/2
from scipy.integrate import quad
f = lambda y: np.sqrt(1 - y**2)
val, err = quad(f, -1, 1)
print(f"\n数值验证 ∫√(1-y²)dy from -1 to 1: {val}, 理论值 π/2: {np.pi/2}")

📝 动手练一练

1. 圆环体的体积：考虑由圆 $(x - R)^2 + y^2 = r^2$（其中 $R > r > 0$）绕 $y$ 轴旋转一周所形成的立体（圆环体，或称轮胎面体）。试用圆环法推导其体积公式。

2. 空心旋转体：求由曲线 $y = x^2$ 与 $y = 2x$ 所围成的平面图形，绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。

参考答案：

1. 对于固定的 $y \in [-r, r]$，从圆的方程解出 $x = R \pm \sqrt{r^2 - y^2}$。外半径为 $R + \sqrt{r^2 - y^2}$，内半径为 $R - \sqrt{r^2 - y^2}$。体积微元 $dV = \pi[(R+\sqrt{r^2-y^2})^2 - (R-\sqrt{r^2-y^2})^2] dy = 4\pi R \sqrt{r^2 - y^2} dy$。因此体积 $V = 4\pi R \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - y^2} dy = 4\pi R \cdot (\frac{1}{2}\pi r^2) = 2\pi^2 R r^2$。
2. 首先求两曲线交点：解 $x^2 = 2x$ 得 $x=0$ 或 $x=2$。在区间 $[0,2]$ 上，$2x \ge x^2$。旋转体可看作由外曲线 $y=2x$ 旋转形成的立体挖去由内曲线 $y=x^2$ 旋转形成的立体。故体积 $V = \pi \int_0^2 (2x)^2 dx - \pi \int_0^2 (x^2)^2 dx = \pi \int_0^2 (4x^2 - x^4) dx = \pi [\frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5]_0^2 = \pi (\frac{32}{3} - \frac{32}{5}) = \frac{64\pi}{15}$。

本章小结

本节我们深入学习了计算旋转体体积的微元法，这是定积分在几何应用中的核心内容。

要点回顾：

• 基本公式：绕 $x$ 轴旋转，$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 , dx$；绕 $y$ 轴旋转，$V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 , dy$。关键在于找准旋转半径和积分变量。
• 方法本质：“以直代曲”，用无数个薄圆盘（圆柱）的体积和来逼近旋转体体积。
• 拓展方法——圆环法：当旋转体是空心的，或由两个函数围成的区域旋转而成时，体积微元是圆环的面积乘以厚度，即 $dV = \pi (R_{\text{外}}^2 - R_{\text{内}}^2) , d\text{(厚度)}$。
• 实践推导：我们成功推导了圆锥体积公式，并计算了椭圆绕不同坐标轴旋转形成的复杂旋转体体积。

行动清单：

1. 理解并默写绕坐标轴旋转的体积公式，明确公式中每一项的几何意义。
2. 动手画图：面对一个旋转体体积问题时，首先画出草图，标出旋转轴、典型薄片的位置及其半径（或内外半径），这是正确建立积分表达式的关键。
3. 尝试编程验证：使用 Python 的 SymPy 或 SciPy 库，对你手工计算的积分结果进行符号或数值验证，培养计算思维和验证习惯。

— 小象教研组