连续函数

连续函数

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

在上一节中，我们学习了函数极限的概念与性质。本节将在此基础上，探讨函数连续性这一核心概念。连续性描述了函数图像“不断开”的直观特性，是微积分分析函数局部与整体行为的基础。理解连续性的定义、性质以及间断点的分类，将为后续学习导数、积分以及更深入的函数分析奠定坚实的理论基础。

💡 核心导读

本节将围绕连续函数展开，主要包含以下要点：

1. 连续性的定义：从函数极限出发，精确定义函数在一点处连续、左连续与右连续的概念。
2. 连续函数的性质：连续函数经过四则运算、复合运算后依然连续；初等函数在其定义域内连续。
3. 间断点的分类：根据函数在间断点处的极限行为，将间断点分为第一类（可去、跳跃）和第二类。
4. 闭区间上连续函数的性质：介绍介值定理、最值定理和有界性定理，并理解其“存在性”本质。
5. 连续性的应用：通过证明奇数次实系数多项式必有实根，展示连续性在理论证明中的威力。

3.1 连续性的定义

函数连续性的核心思想是：函数在某一点的变化是“平缓”的，没有跳跃或突变。从极限的角度，这可以精确表述为：函数在点 $x_0$ 处的值，等于当 $x$ 无限趋近于 $x_0$ 时函数值的极限。

定义 3.1.1 (函数在一点连续)：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。如果 $$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$ 则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

这个定义包含了三层含义：

1. $f(x_0)$ 存在（函数在该点有定义）。
2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在（函数在该点的极限存在）。
3. 上述两者相等。

类似单侧极限，我们可以定义单侧连续性。

定义 3.1.2 (左连续与右连续)：

• 如果 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左连续。
• 如果 $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处右连续。

根据双侧极限与单侧极限的关系，我们立刻得到：

定理 3.1.1：函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续的充分必要条件是，$f(x)$ 在 $x_0$ 处既左连续又右连续。

例 3.1.1：考虑分段函数 $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x < 0, \ 1, & x = 0, \ 2x + 1, & x > 0. \end{cases}$$ 判断 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性。

解：

• 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 + 1) = 1$。
• 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x + 1) = 1$。
• 函数值：$f(0) = 1$。

由于左极限、右极限均存在且等于函数值，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。

3.2 连续函数的运算性质与初等函数的连续性

连续函数具有良好的运算封闭性，这使得我们可以从简单的连续函数构造出复杂的连续函数。

定理 3.2.1 (四则运算的连续性)：设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，则它们的和、差、积、商（当分母不为零时）在 $x_0$ 处也连续。即： $$f(x) \pm g(x), \quad f(x) \cdot g(x), \quad \frac{f(x)}{g(x)} \ (g(x_0) \neq 0)$$ 在 $x_0$ 处连续。

定理 3.2.2 (复合函数的连续性)：设函数 $u = g(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，且 $u_0 = g(x_0)$。函数 $y = f(u)$ 在点 $u_0$ 处连续。则复合函数 $y = f(g(x))$ 在点 $x_0$ 处连续。

定理 3.2.3 (反函数的连续性)：设函数 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上严格单调且连续，则其反函数 $x = f^{-1}(y)$ 在对应的区间 $f(I)$ 上也严格单调且连续。

上述定理保证了我们常用的基本初等函数及其组合的连续性。

定理 3.2.4 (初等函数的连续性)：所有初等函数在其定义域内的任何区间上都是连续的。

初等函数是由基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）经过有限次四则运算和复合运算所构成的函数。例如：

• 多项式函数 $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ 在全体实数 $\mathbb{R}$ 上连续。
• 有理函数 $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ 在其分母不为零的点处连续。
• 函数 $e^{\sin x}$、$\ln(1 + x^2)$、$\arctan(\frac{1}{x})$（$x \neq 0$）等在其定义域内连续。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 示例：验证初等函数在其定义域内的连续性
# 定义函数 f(x) = sin(x) / x，在 x=0 处无定义，但极限存在
x = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 1000)
x_nonzero = x[x != 0] # 避免除以0
y = np.sin(x_nonzero) / x_nonzero

# 计算 x->0 时的极限，根据重要极限，应为1
# 使用 sympy 进行符号计算验证
import sympy as sp
x_sym = sp.symbols('x')
limit_expr = sp.limit(sp.sin(x_sym) / x_sym, x_sym, 0)
print(f"根据重要极限，lim(x->0) sin(x)/x = {limit_expr}")

# 绘图观察函数在 x=0 附近的行为
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x_nonzero, y, label=r'<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mi>x</mi></mfrac><mo separator="true">,</mo><mi>x</mi><mo mathvariant="normal">≠</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(x) = \frac{\sin(x)}{x}, x \neq 0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.1076em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:1.355em;vertical-align:-0.345em;"></span><span class="mord"><span class="mopen nulldelimiter"></span><span class="mfrac"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:1.01em;"><span style="top:-2.655em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">x</span></span></span></span><span style="top:-3.23em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="frac-line" style="border-bottom-width:0.04em;"></span></span><span style="top:-3.485em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mop mtight"><span class="mtight">s</span><span class="mtight">i</span><span class="mtight">n</span></span><span class="mopen mtight">(</span><span class="mord mathnormal mtight">x</span><span class="mclose mtight">)</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.345em;"><span></span></span></span></span></span><span class="mclose nulldelimiter"></span></span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel"><span class="mrel"><span class="mord katex-vbox"><span class="katex-thinbox"><span class="rlap"><span class="katex-strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="katex-inner"><span class="mord"><span class="mrel"></span></span></span><span class="katex-fix"></span></span></span></span></span><span class="mspace nobreak"></span><span class="mrel">=</span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span>', linewidth=2)
plt.scatter(0, 1, color='red', zorder=5, label=f'极限值: {limit_expr}') # 标出极限点
plt.axhline(y=1, color='grey', linestyle='--', alpha=0.5)
plt.axvline(x=0, color='grey', linestyle='--', alpha=0.5)
plt.title('函数 f(x)=sin(x)/x 的图像（在 x=0 处可去间断）')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.show()

3.3 间断点及其分类

不是所有函数都连续。函数的不连续点称为间断点。根据函数在间断点处的极限行为，我们可以对间断点进行分类。

定义 3.3.1 (间断点的分类)：设 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 的一个间断点。

1. 第一类间断点：左极限 $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ 和右极限 $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 都存在。
   • 如果左极限 $\neq$ 右极限，则称 $x_0$ 为跳跃间断点。
   • 如果左极限 $=$ 右极限 $\neq f(x_0)$（或 $f(x_0)$ 无定义），则称 $x_0$ 为可去间断点。
2. 第二类间断点：左极限和右极限中至少有一个不存在。
   • 常见的第二类间断点包括无穷间断点（极限为无穷大）和振荡间断点。

例 3.3.1：

• $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处无定义，但 $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$，故 $x=0$ 是可去间断点。若补充定义 $f(0)=1$，则函数在该点连续。
• $f(x) = \operatorname{sgn}(x)$（符号函数）在 $x=0$ 处，左极限为 $-1$，右极限为 $1$，故 $x=0$ 是跳跃间断点。
• $f(x) = \tan x$ 在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处，左右极限均趋于无穷，故 $x=\frac{\pi}{2}$ 是无穷间断点（第二类）。
• $f(x) = \sin\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处极限振荡不存在，故 $x=0$ 是振荡间断点（第二类）。

3.4 闭区间上连续函数的性质

在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数具有一系列非常重要的整体性质，这些性质在理论证明和实际问题中都有广泛应用。

定理 3.4.1 (有界性定理)：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界。即存在常数 $M > 0$，使得对于所有 $x \in [a, b]$，有 $|f(x)| \le M$。

定理 3.4.2 (最值定理)：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必能取得其最大值和最小值。即存在 $\xi, \eta \in [a, b]$，使得对于所有 $x \in [a, b]$，有 $$f(\xi) \le f(x) \le f(\eta).$$

定理 3.4.3 (介值定理)：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a) \neq f(b)$，则对于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的任意实数 $C$，至少存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得 $$f(\xi) = C.$$ 特别地，若 $f(a) \cdot f(b) < 0$，则至少存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得 $f(\xi) = 0$（零点定理）。

重要提示：

1. 这三个定理的条件“闭区间”和“连续”缺一不可。例如，$f(x) = \frac{1}{x}$ 在开区间 $(0, 1)$ 上连续但无界；$f(x) = x$ 在开区间 $(0, 1)$ 上连续但取不到最大值和最小值。
2. 这些定理都是存在性定理，它们只断言某些点（如最值点、零点）的存在，但并未指出如何找到这些点。

应用示例：证明奇数次实系数多项式必有实根

命题：设 $P(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n$ 是一个实系数多项式，且 $n$ 为奇数，$a_0 \neq 0$。则方程 $P(x) = 0$ 至少有一个实根。

证明： 不失一般性，设 $a_0 > 0$（若 $a_0 < 0$，考虑 $-P(x)$ 即可）。 考虑 $P(x)$ 在 $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 时的极限： $$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} P(x) &= \lim_{x \to +\infty} a_0 x^n \left(1 + \frac{a_1}{a_0 x} + \dots + \frac{a_n}{a_0 x^n}\right) = +\infty, \ \lim_{x \to -\infty} P(x) &= \lim_{x \to -\infty} a_0 x^n \left(1 + \frac{a_1}{a_0 x} + \dots + \frac{a_n}{a_0 x^n}\right) = -\infty \quad (\text{因为 } n \text{ 为奇数}). \end{aligned}$$ 由极限的保号性（或定义）可知：

• 存在足够大的正数 $B > 0$，使得 $P(B) > 0$。
• 存在足够小的负数 $A < 0$，使得 $P(A) < 0$。

多项式 $P(x)$ 在闭区间 $[A, B]$ 上连续，且 $P(A) < 0 < P(B)$。根据介值定理（零点定理），至少存在一点 $\xi \in (A, B)$，使得 $P(\xi) = 0$。$\xi$ 即为 $P(x)=0$ 的一个实根。 $\square$

这个证明巧妙地利用了多项式函数的连续性、无穷远处的极限行为以及介值定理，是连续函数性质的一个经典应用。

📝 动手练一练

1. 判断连续性：设函数 $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin 2x}{x}, & x \neq 0, \ 2, & x = 0. \end{cases}$$ 问 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是否连续？若否，间断点属于哪一类？

2. 应用介值定理：证明方程 $x^5 - 3x - 1 = 0$ 在区间 $(1, 2)$ 内至少有一个实根。

参考答案：

1. 计算极限：$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x} = 2$。因为 $\lim_{x \to 0} f(x) = 2 = f(0)$，所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
2. 令 $g(x) = x^5 - 3x - 1$。$g(x)$ 是多项式，处处连续。计算端点值：$g(1) = 1 - 3 - 1 = -3 < 0$，$g(2) = 32 - 6 - 1 = 25 > 0$。因为 $g(x)$ 在闭区间 $[1, 2]$ 上连续，且 $g(1) \cdot g(2) < 0$，由零点定理，至少存在一点 $\xi \in (1, 2)$，使得 $g(\xi) = 0$，即 $\xi^5 - 3\xi - 1 = 0$。故方程在 $(1, 2)$ 内至少有一个实根。

本章小结

本节系统性地介绍了连续函数理论，这是连接函数极限与后续微分学、积分学的关键桥梁。

要点回顾：

• 连续性定义：$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。连续等价于左连续且右连续。
• 运算封闭性：连续函数经四则运算、复合运算后仍连续；严格单调连续函数的反函数也连续。
• 初等函数连续性：所有初等函数在其定义域内连续。
• 间断点分类：第一类（可去、跳跃）与第二类间断点。
• 闭区间上连续函数的性质：
  • 有界性定理：函数必有界。
  • 最值定理：函数必能取到最大值和最小值。
  • 介值定理（含零点定理）：函数能取到两个端点值之间的任何值。
• 应用：利用连续性（特别是介值定理）可以证明诸如“奇数次实系数多项式必有实根”等存在性命题。

行动清单：

1. 概念辨析：针对一个分段函数或含有绝对值的函数，练习判断其在分段点处的连续性，并指出间断点类型（若有）。
2. 定理应用：尝试用介值定理证明一些简单方程根的存在性，例如 $e^x = 3x$ 在 $(0, 1)$ 内有解。
3. 代码验证：运行讲义中的 Python 代码，观察 sin(x)/x 在 $x=0$ 附近的行为，直观理解可去间断点的概念。尝试修改代码，绘制其他具有不同类型间断点的函数图像（如 tan(x)， sign(x)）。

— 小象教研组