常用统计方法(4) -- mad var std cumsum

Pandas 统计探索精讲(4)：离散程度度量 var/std、累积统计 cumsum/cumprod 与滑动窗口

小象实战讲义 · Python数据分析实战

在风险评估、稳定性分析与时间序列监控中，我们不仅关注均值与极值，更需要衡量数据的波动离散程度以及随时间演进的累积变化趋势。例如：两家供应商的平均交货周期都是 5 天，但一家方差极小（46 天稳定），另一家方差极大（110 天波动剧烈）；或者需要统计某产品自年初以来的年度累积销售总额（Year-to-Date，YTD）。Pandas 提供了 var()（方差）、std()（标准差） 以及 cumsum()（累加）、cumprod()（累乘）、cummax()（累积最大值） 等函数。本节我们将系统讲解离散度量与累积统计的应用。

💡 核心导读

• 离散程度度量函数：
  • var()：方差（样本方差，默认自由度 $\text{ddof}=1$）；
  • std()：标准差（方差的算术平方根，与原始数据单位一致）。
• 累积统计函数族（Cumulative Routines）：
  • cumsum()：前缀累加和；
  • cumprod()：前缀累乘积；
  • cummax() / cummin()：历史累积极值跟踪。
• 时间序列动态演进与业务平稳性诊断。

1. 离散度量 var 与 std 在稳定性评估中的实战

标准差反映了数据偏离平均值的波动幅度：

┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│                 均值相同但离散度不同的两组序列              │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ 生产线 A (稳定): [ 10.0, 10.1,  9.9, 10.0 ] ──► std = 0.08  │
│ 生产线 B (波动): [  5.0, 15.0,  2.0, 18.0 ] ──► std = 7.53  │
│ (生产线 A 的质量一致性显著优于生产线 B)                      │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘

import pandas as pd
import numpy as np

# 创建两家零件供应商的尺寸精度抽检数据 (单位: mm)
df_parts = pd.DataFrame({
    "供应商_A": [50.1, 49.9, 50.0, 50.2, 49.8, 50.0],
    "供应商_B": [52.0, 48.0, 51.5, 47.5, 53.0, 48.0]
})

print("=== 1. 零件尺寸抽检明细 ===")
print(df_parts)

# 1. 均值、方差与标准差对比
print("\n=== 2. 稳定性统计指标对比 ===")
print("• 平均尺寸 (mean):\n", df_parts.mean().round(2))
print("• 方差 (var):\n", df_parts.var().round(4))
print("• 标准差 (std):\n", df_parts.std().round(4))

2. 累积统计函数族与业务演进追踪

cumsum() 常用于计算累积达成进度，cummax() 可用于记录历史最高峰值。

# 创建某产品年度 1~6 月销售额与成本流
df_growth = pd.DataFrame({
    "monthly_sales": [100, 120, 150, 130, 180, 220],
    "monthly_cost": [60, 70, 85, 80, 90, 110]
}, index=["1月", "2月", "3月", "4月", "5月", "6月"])

# 1. 累加计算 (cumsum)：年度累积销售额与成本
df_growth["YTD_Sales"] = df_growth["monthly_sales"].cumsum()
df_growth["YTD_Cost"] = df_growth["monthly_cost"].cumsum()

# 2. 累积最大值 (cummax)：追踪历史最高月销纪录
df_growth["Record_High"] = df_growth["monthly_sales"].cummax()

print("=== 3. 累积统计与历史纪录追踪报表 ===")
print(df_growth)

📝 动手练一练

1. 概念思考题：在计算标准差时，NumPy 的 np.std() 默认除以 N（总体标准差），而 Pandas 的 Series.std() 默认除以 N-1（样本无偏标准差）。如果在 Pandas 中想计算总体标准差，应该如何设置参数？

   👉 点击查看参考答案

   参考答案： 设置参数 ddof=0（Delta Degrees of Freedom 自由度调整为 0）：df['col'].std(ddof=0)。

2. 编程练习：给定每月新增用户数列表 new_users = pd.Series([1000, 1500, 1200, 2000], index=['Q1', 'Q2', 'Q3', 'Q4'])，请使用 cumsum() 计算各季度末的平台累计总注册用户数。

   👉 点击查看参考答案

   参考答案：

   import pandas as pd
   new_users = pd.Series([1000, 1500, 1200, 2000], index=['Q1', 'Q2', 'Q3', 'Q4'])
   total_users = new_users.cumsum()
   print("各季度累计总用户数:")
   print(total_users)

本章小结

• 掌握了 var 与 std 在衡量数据分散程度与稳定性中的核心应用；
• 深入掌握了 cumsum、cumprod、cummax 等累积统计函数的业务实操；
• 厘清了样本标准差与总体标准差在 ddof 参数上的设置差异。

📋 行动清单

• 在本地执行示例代码，观察控制台输出并记录关键指标。
• 做好准备，进入第 5 章压轴综合大实战——《实战：全球食品数据多维探索与营养分析》！

—— 小象教研组