正态总体参数的假设检验（一）

正态总体参数的假设检验（一）：单样本均值检验

小象实战讲义 · 数据科学的统计基础

在上一节学习了假设检验的基本思想后，我们面临一个实际问题：如何将理论应用于具体的统计推断？正态分布是数据科学中最常见、最重要的分布之一，许多统计方法都建立在数据服从正态分布的假设之上。本节我们将聚焦于单正态总体参数的假设检验，特别是总体均值的检验。学完本节，你将能够对一个正态总体的均值提出科学假设，并根据样本数据，利用U检验或t检验，判断是否有充分证据拒绝原假设，从而解决诸如“生产线是否正常”、“产品质量是否达标”等实际问题。

💡 核心导读

• 检验的核心要素：一个完整的假设检验由检验统计量和拒绝域构成，其目标是控制第一类错误（弃真）的概率。
• 原假设的“被保护”地位：原假设通常代表“现状”或“无显著差异”，除非有充分证据，否则不予拒绝。我们通常说“不拒绝原假设”，而非“接受原假设”。
• 单样本均值检验的两大场景：根据总体方差是否已知，分别采用U检验（Z检验） 和 t检验。
• 假设的三种形式：双边检验（$\mu \neq \mu_0$）和两种单边检验（$\mu < \mu_0$ 或 $\mu > \mu_0$），它们决定了拒绝域的方向。
• 显著性水平的选择：结论（拒绝与否）依赖于预先设定的显著性水平 $\alpha$（如0.05），$\alpha$ 不同可能导致结论不同。

假设检验流程回顾与思想深化

在进入具体检验之前，我们首先巩固假设检验的基本流程与核心思想，这对理解后续所有检验都至关重要。

基本流程：

1. 提出假设：根据实际问题，建立原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$。
2. 构造检验统计量：找到一个样本统计量 $T = T(X_1, \ldots, X_n)$，用于衡量数据与原假设的偏离程度。
3. 确定统计量的分布：在原假设 $H_0$ 成立的条件下，推导出检验统计量 $T$ 的精确分布或渐近分布。这是整个检验的数学基础。
4. 确定拒绝域：根据备择假设的方向，在 $T$ 的分布上划定一个区域 $W$（拒绝域），使得当 $T$ 落入 $W$ 时，我们拒绝 $H_0$。区域 $W$ 的边界由显著性水平 $\alpha$ 决定，满足 $P_{H_0}(T \in W) \leq \alpha$。
5. 做出决策：将样本数据代入计算 $T$ 的观测值 $t$。若 $t \in W$，则拒绝 $H_0$；否则，不拒绝 $H_0$。

核心思想——“反证法”与“小概率事件”：

• 反证法：我们先“假定”原假设 $H_0$ 成立。
• 小概率事件：在原假设成立的假定下，检验统计量 $T$ 有一个已知分布。如果根据样本计算出的 $t$ 值，落在了这个分布中概率非常小（如 $\alpha = 0.05$）的区域，这意味着在原假设成立的前提下，发生了一件“不太可能”的事情。
• 做出推断：根据“小概率事件在一次试验中几乎不发生”的原则，我们更倾向于认为最初的假定（$H_0$ 成立）是不合理的，从而拒绝 $H_0$。反之，如果 $t$ 值落在大概率区域，则没有充分证据反对 $H_0$，我们选择不拒绝它。

原假设的“被保护”地位：在许多实际问题中（如产品质量检验、新药有效性检验），原假设 $H_0$ 常代表“没有效果”、“过程正常”、“符合标准”等现状或保守结论。除非样本数据提供强有力的、小概率的证据反对它，否则我们维持原假设。这类似于司法中的“无罪推定”：在没有确凿证据证明有罪之前，假定被告无罪。因此，我们通常说“不拒绝 $H_0$”，这比“接受 $H_0$”更为严谨，因为不拒绝可能只是由于证据不足，而非 $H_0$ 一定为真。

两类错误与NP理论：

• 第一类错误（弃真）：$H_0$ 为真时拒绝了它，概率记为 $\alpha$。
• 第二类错误（存伪）：$H_0$ 为假时没有拒绝它，概率记为 $\beta$。 在样本量固定的情况下，$\alpha$ 和 $\beta$ 此消彼长。Fisher的显著性检验主要关注控制 $\alpha$。而后续的Neyman-Pearson (NP) 理论则追求：在控制第一类错误 $\alpha$ 不超过某个水平的前提下，寻找使第二类错误 $\beta$ 最小（即检验功效最大）的检验方法。

单正态总体均值的假设检验

设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的简单随机样本。我们感兴趣的参数是总体均值 $\mu$。待检验的假设通常围绕 $\mu$ 与某个给定值 $\mu_0$ 的关系展开。

情形一：方差 $\sigma^2$ 已知

当总体方差 $\sigma^2$ 已知时，我们使用 U检验（或称Z检验）。检验统计量基于样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$。我们知道，$\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$。将其标准化，得到U统计量： $$U = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ 在原假设 $H_0: \mu = \mu_0$ 成立的条件下，$U \sim N(0, 1)$，即服从标准正态分布。

下面针对三种常见的假设形式给出具体的检验方法。

1. 双边检验 $H_0: \mu = \mu_0 \quad vs. \quad H_1: \mu \neq \mu_0$

直观理解：如果 $H_1$ 成立，即 $\mu$ 不等于 $\mu_0$，那么样本均值 $\bar{X}$ 作为 $\mu$ 的估计，与 $\mu_0$ 的差距（绝对值）应该会比较大。因此，当 $|U|$ 很大时，我们倾向于拒绝 $H_0$。

拒绝域的确定：我们需要控制第一类错误 $P_{H_0}(|U| > c) = \alpha$。由于 $H_0$ 下 $U \sim N(0,1)$，临界值 $c$ 应取标准正态分布的 $1-\alpha/2$ 分位数，记为 $u_{1-\alpha/2}$。通常，$\alpha=0.05$ 时，$u_{0.975} \approx 1.96$。

检验结论：

• 若 $|u| > u_{1-\alpha/2}$，则拒绝 $H_0$。
• 若 $|u| \leq u_{1-\alpha/2}$，则不拒绝 $H_0$。

此检验称为水平为 $\alpha$ 的双边U检验。

例题应用（糖厂包装机）：

• 问题：糖厂袋装糖标准质量为100克，已知标准差 $\sigma = 1.15$ 克。随机抽检9袋，测得平均质量 $\bar{x} = 99.98$ 克。问机器工作是否正常？（$\alpha=0.05$）
• 假设：$H_0: \mu = 100 \quad vs. \quad H_1: \mu \neq 100$
• 计算： $$u = \frac{99.98 - 100}{1.15 / \sqrt{9}} = \frac{-0.02}{0.3833} \approx -0.0522$$ $|u| = 0.0522 < 1.96 = u_{0.975}$。
• 结论：在0.05显著性水平下，没有充分证据拒绝 $H_0$，即不能认为包装机工作不正常。

import numpy as np
from scipy import stats

# 糖厂包装机检验示例 (方差已知，双边U检验)
mu_0 = 100          # 标准质量
sigma = 1.15        # 已知标准差
x_bar = 99.98       # 样本均值
n = 9               # 样本量
alpha = 0.05        # 显著性水平

# 计算U统计量
u_stat = (x_bar - mu_0) / (sigma / np.sqrt(n))
print(f"U统计量观测值: {u_stat:.4f}")

# 计算临界值
critical_value = stats.norm.ppf(1 - alpha/2)
print(f"双边检验临界值 (α={alpha}): ±{critical_value:.4f}")

# 计算p值 (双边)
p_value = 2 * (1 - stats.norm.cdf(abs(u_stat)))
print(f"检验p值: {p_value:.4f}")

# 做出决策
if abs(u_stat) > critical_value:
    print(f"决策: |{u_stat:.4f}| > {critical_value:.4f}, 拒绝H0。")
else:
    print(f"决策: |{u_stat:.4f}| ≤ {critical_value:.4f}, 不拒绝H0。")

2. 左边检验 $H_0: \mu = \mu_0 \quad vs. \quad H_1: \mu < \mu_0$

直观理解：如果 $H_1$ 成立，即 $\mu$ 小于 $\mu_0$，那么样本均值 $\bar{X}$ 倾向于小于 $\mu_0$，使得 $U$ 统计量倾向于取负值，且绝对值较大。因此，当 $U$ 很小时（即负得很多），我们拒绝 $H_0$。

拒绝域的确定：控制 $P_{H_0}(U < c) = \alpha$。由于 $H_0$ 下 $U \sim N(0,1)$，临界值 $c$ 应取标准正态分布的 $\alpha$ 分位数，记为 $u_{\alpha}$。由于分布对称，$u_{\alpha} = -u_{1-\alpha}$。例如，$\alpha=0.05$ 时，$u_{0.05} \approx -1.645$。

检验结论：

• 若 $u < u_{\alpha}$，则拒绝 $H_0$。
• 若 $u \geq u_{\alpha}$，则不拒绝 $H_0$。

此检验称为水平为 $\alpha$ 的单边（左边）U检验。

3. 右边检验 $H_0: \mu = \mu_0 \quad vs. \quad H_1: \mu > \mu_0$

直观理解：与左边检验相反，如果 $H_1$ 成立，$U$ 统计量倾向于取正值且较大。

拒绝域的确定：控制 $P_{H_0}(U > c) = \alpha$。临界值 $c$ 应取标准正态分布的 $1-\alpha$ 分位数 $u_{1-\alpha}$。

检验结论：

• 若 $u > u_{1-\alpha}$，则拒绝 $H_0$。
• 若 $u \leq u_{1-\alpha}$，则不拒绝 $H_0$。

此检验称为水平为 $\alpha$ 的单边（右边）U检验。

情形二：方差 $\sigma^2$ 未知

当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，我们无法使用U统计量，因为它依赖于未知的 $\sigma$。自然的想法是用样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$ 来估计 $\sigma^2$。由此构造的统计量服从 t分布。

构造 t统计量： $$T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$$ 在原假设 $H_0: \mu = \mu_0$ 成立的条件下，$T \sim t(n-1)$，即自由度为 $n-1$ 的 t 分布。

检验的逻辑与U检验完全相同，只是临界值需要从 t 分布中查找。

1. 双边检验 $H_0: \mu = \mu_0 \quad vs. \quad H_1: \mu \neq \mu_0$

• 拒绝域：$|T| > t_{1-\alpha/2}(n-1)$
• 名称：双边 t 检验

2. 左边检验 $H_0: \mu = \mu_0 \quad vs. \quad H_1: \mu < \mu_0$

• 拒绝域：$T < t_{\alpha}(n-1)$，其中 $t_{\alpha}(n-1) = -t_{1-\alpha}(n-1)$
• 名称：单边（左边） t 检验

3. 右边检验 $H_0: \mu = \mu_0 \quad vs. \quad H_1: \mu > \mu_0$

• 拒绝域：$T > t_{1-\alpha}(n-1)$
• 名称：单边（右边） t 检验

# 模拟：方差未知时的单样本t检验
np.random.seed(42)  # 固定随机种子
# 假设真实总体为 N(102, 2.5^2)，但我们不知道方差
true_mu = 102
true_sigma = 2.5
n = 25
sample = np.random.normal(loc=true_mu, scale=true_sigma, size=n)

# 我们想检验 H0: mu = 100 vs H1: mu > 100 (右边检验)
mu_0 = 100
alpha = 0.05

# 计算样本统计量
x_bar = np.mean(sample)
s = np.std(sample, ddof=1)  # 样本标准差，ddof=1表示除以n-1
print(f"样本均值: {x_bar:.4f}")
print(f"样本标准差: {s:.4f}")

# 计算t统计量
t_stat = (x_bar - mu_0) / (s / np.sqrt(n))
print(f"t统计量观测值: {t_stat:.4f}")

# 计算临界值 (自由度为 n-1)
df = n - 1
critical_value = stats.t.ppf(1 - alpha, df)
print(f"右边t检验临界值 (α={alpha}, df={df}): {critical_value:.4f}")

# 使用scipy内置函数进行单样本t检验，验证结果
# alternative='greater' 对应 H1: mu > mu_0
t_stat_scipy, p_value_scipy = stats.ttest_1samp(sample, popmean=mu_0, alternative='greater')
print(f"\nScipy t检验结果:")
print(f"  t统计量: {t_stat_scipy:.4f}")
print(f"  单边p值 (greater): {p_value_scipy:.4f}")

# 做出决策
if t_stat > critical_value:
    print(f"决策: {t_stat:.4f} > {critical_value:.4f}, 拒绝H0，认为总体均值大于100。")
else:
    print(f"决策: {t_stat:.4f} ≤ {critical_value:.4f}, 不拒绝H0。")

关于假设形式的进一步说明

在课件和讲授中，提到了五种假设形式，但最终可归结为上述三种检验：

1. $H_0: \mu = \mu_0 \quad vs. \quad H_1: \mu \neq \mu_0$ （双边检验）
2. $H_0: \mu = \mu_0 \quad vs. \quad H_1: \mu < \mu_0$ （单边检验）
3. $H_0: \mu = \mu_0 \quad vs. \quad H_1: \mu > \mu_0$ （单边检验）
4. $H_0: \mu \leq \mu_0 \quad vs. \quad H_1: \mu > \mu_0$ （可归入第3类）
5. $H_0: \mu \geq \mu_0 \quad vs. \quad H_1: \mu < \mu_0$ （可归入第2类）

为什么第4、5类可归入前两类？ 以第4类为例，原假设 $H_0: \mu \leq \mu_0$。在构造检验时，我们通常考虑对原假设最不利的情况，即 $\mu = \mu_0$。因为如果在这个边界点上，我们都能控制第一类错误概率不超过 $\alpha$，那么对于 $\mu < \mu_0$ 的情况，犯第一类错误的概率只会更小。因此，我们可以直接采用针对 $H_0: \mu = \mu_0$ 的检验方法（拒绝域为 $U > u_{1-\alpha}$），它同时也是水平为 $\alpha$ 的针对 $H_0: \mu \leq \mu_0$ 的检验。第5类情况同理。

一个关键要求：原假设 $H_0$ 中必须包含等号（=）。这是因为我们需要在 $H_0$ 成立的一个确定点上，推导出检验统计量的精确分布，从而计算临界值和p值。如果 $H_0$ 只是 $\mu < \mu_0$，没有等号，则 $\mu$ 是一个区间，检验统计量的分布不唯一，无法确定统一的临界值。

📝 动手练一练

1. 练习题一（方差已知的U检验） 某品牌洗发水标注净含量为500ml。根据长期生产记录，灌装量的标准差稳定在 $\sigma = 4$ ml。质监部门从一批产品中随机抽取了36瓶进行测量，得到平均净含量 $\bar{x} = 498.5$ ml。在显著性水平 $\alpha = 0.01$ 下，能否认为该批洗发水的平均净含量低于标注值？（提示：这是一个左边检验）

   参考答案： 建立假设：$H_0: \mu = 500 \quad vs. \quad H_1: \mu < 500$。 计算U统计量：$u = (498.5 - 500) / (4 / \sqrt{36}) = -1.5 / (4/6) = -2.25$。 查表得 $\alpha=0.01$ 的左边临界值 $u_{0.01} \approx -2.326$。 因为 $u = -2.25 > -2.326$，所以不拒绝 $H_0$。在0.01水平下，没有充分证据表明该批产品平均净含量低于500ml。

2. 练习题二（方差未知的t检验） 为研究一种新型肥料对小麦株高的影响，在试验田中随机选取了16株使用该肥料的小麦，测得株高（cm）如下： [82, 85, 88, 86, 84, 87, 90, 83, 89, 85, 86, 84, 87, 88, 86, 85] 已知该品种小麦在常规肥料下的平均株高为84.5cm。假设株高服从正态分布，在 $\alpha = 0.05$ 水平下，检验这种新型肥料是否提高了小麦的平均株高。

   参考答案：

   import numpy as np
   from scipy import stats
   
   heights = np.array([82, 85, 88, 86, 84, 87, 90, 83, 89, 85, 86, 84, 87, 88, 86, 85])
   mu_0 = 84.5
   alpha = 0.05
   
   # 使用scipy进行单样本右边t检验
   t_stat, p_value = stats.ttest_1samp(heights, popmean=mu_0, alternative='greater')
   print(f"样本均值: {np.mean(heights):.2f}")
   print(f"样本标准差: {np.std(heights, ddof=1):.2f}")
   print(f"t统计量: {t_stat:.4f}")
   print(f"p值 (右边): {p_value:.4f}")
   
   if p_value < alpha:
       print(f"结论: p值 ({p_value:.4f}) < α ({alpha})，拒绝H0，认为新型肥料提高了平均株高。")
   else:
       print(f"结论: p值 ({p_value:.4f}) ≥ α ({alpha})，不拒绝H0。")

   运行代码后，p值约为0.0092，小于0.05，因此拒绝原假设，认为新型肥料显著提高了小麦的平均株高。

本章小结

本节我们深入探讨了单正态总体均值假设检验的完整框架，这是统计推断中最基础、应用最广泛的方法之一。

要点回顾：

1. 检验思想：基于反证法与小概率事件原理，通过构造在原假设下有已知分布的检验统计量，来判断样本数据是否提供了拒绝原假设的充分证据。
2. 核心要素：检验由检验统计量和拒绝域构成，通过控制第一类错误概率 $\alpha$ 来确定拒绝域的边界。
3. 两大场景：
   • 方差已知：使用 U检验（Z检验），统计量 $U = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$。
   • 方差未知：使用 t检验，统计量 $T = \frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$。
4. 三种假设：根据备择假设的方向，分为双边检验和单边（左、右）检验，它们决定了拒绝域是双侧还是单侧。
5. 决策表述：严谨的结论是“拒绝 $H_0$”或“不拒绝 $H_0$”，后者不等同于“接受 $H_0$”，体现了原假设的“被保护”地位。

行动清单：

• 明确场景：面对一个关于均值的检验问题，首先判断总体方差是否已知，以决定使用U检验还是t检验。
• 正确建立假设：根据研究问题的方向（是否关心特定方向的变化），选择双边或单边假设。牢记原假设必须包含等号。
• 掌握计算与查表：熟练计算检验统计量的观测值，并会根据显著性水平 $\alpha$ 和自由度（t检验时）查找对应的临界值，或利用软件计算p值。
• 理解结论的统计含义：“不拒绝 $H_0$”意味着证据不足，而非证明 $H_0$ 为真；结论的可靠性依赖于预先设定的 $\alpha$ 水平。

— 小象教研组