统计量与抽样分布（二）

经验分布函数与抽样分布

小象实战讲义 · 数据科学的统计基础

本节我们将深入探讨两个核心概念：经验分布函数与抽样分布。经验分布函数是连接样本与总体分布的关键桥梁，它用样本的频率来逼近总体的概率。而抽样分布则是统计推断的理论基石，它描述了统计量（如样本均值、样本方差）的随机波动规律。掌握这些内容，你将能理解统计推断背后的理论依据，并为后续的参数估计与假设检验打下坚实基础。

💡 核心导读

1. 经验分布函数：基于样本构造的阶梯函数，是总体分布函数的“经验”近似。格列文科定理为其提供了坚实的理论保障。
2. 抽样分布：统计量的概率分布，是进行统计推断的“地图”。它分为精确分布、渐近分布和近似分布三类。
3. 正态总体的抽样分布定理（Fisher引理）：当样本来自正态总体时，样本均值与样本方差相互独立，且分别服从正态分布和卡方分布，这是构造t检验、F检验等经典方法的核心。
4. 三大重要抽样分布：由正态总体样本构造的t分布、卡方分布和F分布，是后续假设检验中最常用的工具。

经验分布函数：从样本窥见总体

在统计学中，我们通常无法获得总体的全部信息，只能通过样本来进行推断。经验分布函数（Empirical Distribution Function, EDF）就是一种仅基于样本来估计总体分布函数的强大工具。

定义与直观理解

设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自某个总体的一个简单随机样本。其经验分布函数 $F_n(x)$ 定义为： $$F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} I(X_i \le x)$$ 其中 $I(\cdot)$ 是示性函数，当事件 $X_i \le x$ 成立时取值为1，否则为0。

直观解释：$F_n(x)$ 表示在 $n$ 个样本点中，取值不超过 $x$ 的样本所占的比例（频率）。因此，其核心思想是用频率来逼近概率，即用 $F_n(x)$ 来估计总体真实的分布函数 $F(x) = P(X \le x)$。

经验分布函数也可以写成一个分段函数的形式。将样本观测值按从小到大排序为 $X_{(1)} \le X_{(2)} \le \cdots \le X_{(n)}$，则： $$F_n(x) = \begin{cases} 0, & x < X_{(1)} \ \frac{k}{n}, & X_{(k)} \le x < X_{(k+1)}, \quad k=1,2,\ldots,n-1 \ 1, & x \ge X_{(n)} \end{cases}$$ 这是一个右连续的阶梯函数，在每个样本点 $X_{(i)}$ 处发生一次跳跃，跳跃高度为 $1/n$（假设样本点互不相同）。

性质与理论保证

经验分布函数 $F_n(x)$ 本身是一个统计量，因为它是样本的函数。对于固定的 $x$，$nF_n(x)$ 服从二项分布 $B(n, F(x))$。根据伯努利大数定律，对于任意固定的 $x$，当 $n \to \infty$ 时，有 $F_n(x) \xrightarrow{P} F(x)$。这是一种逐点收敛。

然而，一个更强大、更全局的结论是格列文科定理（Glivenko-Cantelli Theorem）： $$\sup_{x \in \mathbb{R}} |F_n(x) - F(x)| \xrightarrow{a.s.} 0, \quad n \to \infty$$ 这个定理表明，经验分布函数与真实分布函数之间的最大偏差（记为 $D_n$）几乎必然收敛于0。这从理论上保证了，当样本量足够大时，经验分布函数 $F_n(x)$ 是总体分布函数 $F(x)$ 的优良近似。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# 模拟经验分布函数与真实分布函数的逼近
np.random.seed(42)

# 真实分布：标准正态分布
true_dist = stats.norm(loc=0, scale=1)
x_grid = np.linspace(-3, 3, 1000)
true_cdf = true_dist.cdf(x_grid)

# 不同样本量下的经验分布函数
sample_sizes = [10, 30, 100]
plt.figure(figsize=(12, 8))

for i, n in enumerate(sample_sizes, 1):
    sample = true_dist.rvs(size=n)
    # 计算经验分布函数
    # 方法：对每个x_grid点，计算样本中<=该点的比例
    empirical_cdf = np.array([np.mean(sample <= x) for x in x_grid])
    
    plt.subplot(2, 2, i)
    plt.plot(x_grid, true_cdf, 'b-', lw=2, label='真实分布函数 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F(x)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.1389em;">F</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>')
    plt.step(x_grid, empirical_cdf, 'r-', where='post', lw=1.5, label=f'经验分布函数 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>F</mi><mi>n</mi></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F_n(x)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.1389em;">F</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.1514em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.1389em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, n={n}')
    plt.fill_between(x_grid, true_cdf, empirical_cdf, color='gray', alpha=0.3, label='偏差区域')
    plt.title(f'样本量 n = {n}')
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('累积概率')
    plt.legend()
    plt.grid(True, alpha=0.3)

# 绘制最大偏差 D_n 随样本量增大的变化
plt.subplot(2, 2, 4)
n_values = np.arange(10, 1001, 10)
Dn_values = []
for n in n_values:
    sample = true_dist.rvs(size=n)
    empirical_cdf = np.array([np.mean(sample <= x) for x in x_grid])
    Dn = np.max(np.abs(empirical_cdf - true_cdf))
    Dn_values.append(Dn)

plt.plot(n_values, Dn_values, 'g-', lw=2)
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='--', alpha=0.5)
plt.title('格列文科定理图示：<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>D</mi><mi>n</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">D_n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0278em;">D</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.1514em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0278em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> 随 n 增大而减小')
plt.xlabel('样本量 n')
plt.ylabel('最大偏差 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>D</mi><mi>n</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">D_n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0278em;">D</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.1514em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0278em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()

抽样分布：统计量的“行为指南”

统计推断的核心是通过样本统计量来推断总体参数。然而，统计量本身也是随机变量，有其自身的概率分布。抽样分布（Sampling Distribution）就是指统计量的概率分布。了解抽样分布，就如同拿到了统计量在反复抽样下的“行为指南”，是进行区间估计和假设检验的前提。

抽样分布的分类

1. 精确（抽样）分布：在总体分布已知时，能够精确推导出的统计量的分布。例如，正态总体下样本均值的分布。
2. 渐近（抽样）分布：当样本量 $n \to \infty$ 时，统计量分布的极限形式。通常由中心极限定理等极限定理得到。
3. 近似（抽样）分布：当精确分布难以求出，且样本量不够大时，通过某种近似方法得到的分布。

正态总体的抽样分布定理（Fisher引理）

这是数理统计中最重要的定理之一，为基于正态分布的统计推断提供了理论核心。

定理（抽样分布定理）：设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的简单随机样本。记样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$，样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$。则有：

1. $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立。
2. $\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
3. $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，即服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布。

证明思路（关键步骤）：

1. 构造随机向量 $\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_n)^T$，它服从多元正态分布 $N_n(\mu\mathbf{1}_n, \sigma^2 I_n)$。
2. 构造一个特殊的 $n \times n$ 正交矩阵 $A$，其第一行所有元素均为 $1/\sqrt{n}$，其余行构造满足每行元素之和为0，且行与行之间正交。例如： $$A = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{n} & 1/\sqrt{n} & 1/\sqrt{n} & \cdots & 1/\sqrt{n} \ 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} & 0 & \cdots & 0 \ 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} & -2/\sqrt{6} & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \end{pmatrix}$$
3. 作正交变换 $\mathbf{Y} = A\mathbf{X}$。根据多元正态分布的性质，$\mathbf{Y}$ 也服从多元正态分布，且其分量相互独立。可以验证：
   • $Y_1 = \sqrt{n}\bar{X}$，故 $\bar{X}$ 仅与 $Y_1$ 有关。
   • $\sum_{i=2}^n Y_i^2 = (n-1)S^2$，故 $S^2$ 仅与 $Y_2, \ldots, Y_n$ 有关。
4. 由于 $Y_1$ 与 $(Y_2, \ldots, Y_n)$ 独立，可推出 $\bar{X}$ 与 $S^2$ 独立。同时，$Y_1 \sim N(\sqrt{n}\mu, \sigma^2)$ 推出结论2；$\sum_{i=2}^n (Y_i/\sigma)^2 \sim \chi^2(n-1)$ 推出结论3。

由抽样分布定理导出的重要分布

基于上述定理，我们可以推导出在假设检验中至关重要的 t 统计量 和 F 统计量 的分布。

1. t 分布（单样本情形） 当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，为了对均值 $\mu$ 进行推断，我们构造 t 统计量： $$T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$$ 可以证明： $$T = \frac{(\bar{X} - \mu)/(\sigma/\sqrt{n})}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} / (n-1)}} = \frac{Z}{\sqrt{V/(n-1)}}$$ 其中 $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$， $V = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，且 $Z$ 与 $V$ 独立（由抽样分布定理）。根据 t 分布的定义，有： $$T \sim t(n-1)$$ 即服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。

2. F 分布（两样本方差比） 设有两个独立的正态总体：$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$， $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$。分别从两个总体中抽取样本 $X_1,\ldots,X_{n_1}$ 和 $Y_1,\ldots,Y_{n_2}$，样本方差为 $S_1^2$ 和 $S_2^2$。 若想比较两个总体的方差，构造 F 统计量： $$F = \frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2}$$ 根据抽样分布定理，有 $\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi^2(n_1-1)$， $\frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi^2(n_2-1)$，且两者独立。根据 F 分布的定义： $$F = \frac{[(n_1-1)S_1^2/\sigma_1^2] / (n_1-1)}{[(n_2-1)S_2^2/\sigma_2^2] / (n_2-1)} \sim F(n_1-1, n_2-1)$$ 特别地，当 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ 时，$F = S_1^2 / S_2^2 \sim F(n_1-1, n_2-1)$。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# 验证抽样分布定理及t分布、F分布
np.random.seed(2024)

# 1. 验证样本均值与样本方差的独立性（通过模拟协方差）
n = 20
mu, sigma = 5, 2
num_simulations = 5000

sample_means = np.zeros(num_simulations)
sample_vars = np.zeros(num_simulations)

for i in range(num_simulations):
    sample = np.random.normal(loc=mu, scale=sigma, size=n)
    sample_means[i] = np.mean(sample)
    sample_vars[i] = np.var(sample, ddof=1)  # 使用无偏估计 (n-1)

# 计算相关系数（独立性意味着相关系数接近0）
corr_coef = np.corrcoef(sample_means, sample_vars)[0, 1]
print(f"样本均值与样本方差之间的样本相关系数: {corr_coef:.4f}")
print("理论上应为0，模拟值接近0说明独立性成立。")

# 2. 验证 (n-1)S^2 / sigma^2 ~ Chi-square(n-1)
scaled_vars = (n - 1) * sample_vars / (sigma ** 2)

# 绘制直方图并与理论卡方分布密度对比
plt.figure(figsize=(12, 5))

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.hist(scaled_vars, bins=50, density=True, alpha=0.6, color='skyblue', edgecolor='black', label='模拟值')
x_chi2 = np.linspace(0, stats.chi2.ppf(0.995, n-1), 200)
plt.plot(x_chi2, stats.chi2.pdf(x_chi2, df=n-1), 'r-', lw=2, label=f'<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>χ</mi><mn>2</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\chi^2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:1.0085em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">χ</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>({n-1})')
plt.title(f'验证: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><msup><mi>S</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">/</mi><mspace linebreak="newline"></mspace><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>g</mi><mi>m</mi><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(n-1)S^2/\\sigma^2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mclose">)</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0576em;">S</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mord">/</span></span><span class="mspace katex-newline"></span><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:1.0085em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0359em;">g</span><span class="mord mathnormal">m</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">a</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> 的分布 (n={n})')
plt.xlabel('<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><msup><mi>S</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">/</mi><mspace linebreak="newline"></mspace><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>g</mi><mi>m</mi><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(n-1)S^2/\\sigma^2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mclose">)</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0576em;">S</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mord">/</span></span><span class="mspace katex-newline"></span><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:1.0085em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0359em;">g</span><span class="mord mathnormal">m</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">a</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>')
plt.ylabel('密度')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

# 3. 验证 t 统计量的分布: T = (X_bar - mu) / (S / sqrt(n)) ~ t(n-1)
t_stats = (sample_means - mu) / (np.sqrt(sample_vars) / np.sqrt(n))

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.hist(t_stats, bins=50, density=True, alpha=0.6, color='lightgreen', edgecolor='black', label='模拟值')
x_t = np.linspace(stats.t.ppf(0.001, n-1), stats.t.ppf(0.999, n-1), 200)
plt.plot(x_t, stats.t.pdf(x_t, df=n-1), 'b-', lw=2, label=f't({n-1})')
plt.title(f'验证: T 统计量的分布 (n={n})')
plt.xlabel('T = (<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mspace linebreak="newline"></mspace><mi>b</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>X</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\\bar{X}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="mspace katex-newline"></span><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal">ba</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0278em;">r</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0785em;">X</span></span></span></span></span> - <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mspace linebreak="newline"></mspace><mi>m</mi><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\\mu</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="mspace katex-newline"></span><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">m</span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>) / (S / <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mspace linebreak="newline"></mspace><mi>s</mi><mi>q</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\\sqrt{n}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="mspace katex-newline"></span><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:0.8095em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0359em;">q</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0278em;">r</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span></span>)')
plt.ylabel('密度')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

# 4. 验证 F 统计量的分布 (两样本方差比)
n1, n2 = 15, 12
sigma1, sigma2 = 2, 2  # 假设方差相等
num_simulations_f = 5000
f_stats = np.zeros(num_simulations_f)

for i in range(num_simulations_f):
    sample1 = np.random.normal(loc=0, scale=sigma1, size=n1)
    sample2 = np.random.normal(loc=0, scale=sigma2, size=n2)
    var1 = np.var(sample1, ddof=1)
    var2 = np.var(sample2, ddof=1)
    f_stats[i] = var1 / var2  # 因为 sigma1^2 = sigma2^2

plt.figure(figsize=(6, 4))
plt.hist(f_stats, bins=50, density=True, alpha=0.6, color='orange', edgecolor='black', label='模拟值')
x_f = np.linspace(0, stats.f.ppf(0.99, n1-1, n2-1), 200)
plt.plot(x_f, stats.f.pdf(x_f, dfn=n1-1, dfd=n2-1), 'purple', lw=2, label=f'F({n1-1},{n2-1})')
plt.title(f'验证: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msubsup><mi>S</mi><mn>1</mn><mn>2</mn></msubsup><mi mathvariant="normal">/</mi><msubsup><mi>S</mi><mn>2</mn><mn>2</mn></msubsup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S_1^2 / S_2^2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0576em;">S</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-2.4519em;margin-left:-0.0576em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2481em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mord">/</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0576em;">S</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-2.4519em;margin-left:-0.0576em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2481em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> 的分布 (方差相等时)')
plt.xlabel('<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msubsup><mi>S</mi><mn>1</mn><mn>2</mn></msubsup><mi mathvariant="normal">/</mi><msubsup><mi>S</mi><mn>2</mn><mn>2</mn></msubsup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S_1^2 / S_2^2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="katex-base"><span class="katex-strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0576em;">S</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-2.4519em;margin-left:-0.0576em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2481em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mord">/</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0576em;">S</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-2.4519em;margin-left:-0.0576em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="katex-sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2481em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>')
plt.ylabel('密度')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()

📝 动手练一练

1. 经验分布函数的计算：从标准正态分布 $N(0,1)$ 中随机抽取一个样本量为10的样本：[-0.71, 0.36, -0.13, 1.47, -0.23, -1.32, 0.81, 0.92, -0.51, 0.15]。 a) 计算并写出该样本的经验分布函数 $F_{10}(x)$ 的分段表达式。 b) 计算 $F_{10}(0.5)$ 和 $F_{10}(1.0)$ 的值。

2. 抽样分布的应用：某工厂生产的零件长度服从正态分布 $N(\mu, 0.1^2)$（单位：mm）。质检员每日随机抽取16个零件测量其长度，得到样本均值 $\bar{x}$。 a) 请问样本均值 $\bar{X}$ 服从什么分布？写出其均值和方差。 b) 若某日测得样本均值为 $\bar{x} = 50.05$ mm，请计算 $P(\bar{X} > 50.05)$（假设总体均值 $\mu = 50.00$ mm）。这个概率值在假设检验中通常被称为什么？

参考答案：

1. a) 首先将样本排序：$X_{(1)}=-1.32, X_{(2)}=-0.71, X_{(3)}=-0.51, X_{(4)}=-0.23, X_{(5)}=-0.13, X_{(6)}=0.15, X_{(7)}=0.36, X_{(8)}=0.81, X_{(9)}=0.92, X_{(10)}=1.47$。 则： $$F_{10}(x) = \begin{cases} 0, & x < -1.32 \ 0.1, & -1.32 \le x < -0.71 \ 0.2, & -0.71 \le x < -0.51 \ 0.3, & -0.51 \le x < -0.23 \ 0.4, & -0.23 \le x < -0.13 \ 0.5, & -0.13 \le x < 0.15 \ 0.6, & 0.15 \le x < 0.36 \ 0.7, & 0.36 \le x < 0.81 \ 0.8, & 0.81 \le x < 0.92 \ 0.9, & 0.92 \le x < 1.47 \ 1.0, & x \ge 1.47 \end{cases}$$ b) $F_{10}(0.5)$：$0.5 \in [0.36, 0.81)$，故 $F_{10}(0.5)=0.7$。 $F_{10}(1.0)$：$1.0 \in [0.92, 1.47)$，故 $F_{10}(1.0)=0.9$。

2. a) 根据抽样分布定理，$\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n}) = N(\mu, \frac{0.1^2}{16}) = N(\mu, 0.000625)$。 b) 当 $\mu = 50.00$ 时，$\bar{X} \sim N(50.00, 0.000625)$，即标准差为 $\sqrt{0.000625}=0.025$。 计算 $Z = \frac{50.05 - 50.00}{0.025} = 2.0$。 $P(\bar{X} > 50.05) = P(Z > 2.0) = 1 - \Phi(2.0) \approx 0.0228$。 这个概率值在假设检验中被称为 p值（当原假设 $\mu=50.00$ 成立时，观察到当前样本或更极端情况的概率）。

本章小结

本节我们构建了从样本通往总体推断的两座关键桥梁。

要点回顾：

• 经验分布函数 $F_n(x)$ 是总体分布函数 $F(x)$ 的样本版本，用频率估计概率。格列文科定理保证了当样本量增大时，$F_n(x)$ 能一致地逼近 $F(x)$。
• 抽样分布是统计量的概率分布，是统计推断的理论基础。它分为精确分布、渐近分布和近似分布。
• 正态总体的抽样分布定理（Fisher引理） 是核心结论：样本均值与样本方差独立；样本均值服从正态分布；样本方差（缩放后）服从卡方分布。
• 基于该定理，我们推导出单样本均值检验使用的 t 分布和两样本方差比较使用的 F 分布。

行动清单：

1. 动手验证：运行讲义中的Python代码，直观感受经验分布函数如何随样本量增大而逼近真实分布，并验证t统计量和F统计量的模拟分布与理论曲线是否吻合。
2. 理解推导：尝试理解抽样分布定理的证明思路（正交变换），并掌握由它推导出t统计量分布的关键步骤（标准正态与独立卡方之比）。
3. 联系应用：思考在产品质量控制（如零件尺寸检验）或实验数据分析（如A/B测试）中，哪些场景会用到本节介绍的t分布或F分布进行统计推断。

— 小象教研组